试卷类型：A
山东省滨州市2005～2006学年度第一学期期末考试
高二数学试题(理科：必修5＋选修2‐1)
（人教A版） 2006年1月16日
考生注意：
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
3.考试结束后，监考人员将第I卷和答题卡一并收回.
一、选择题:本题共12小题；每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
⑴ 在
中，若
，则
（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
⑵ 曲线
在点（
）处切线的倾斜角为
（ ）
(A) (B)
(C)
(D)
⑶ 已知
是
的充分不必要条件，
是的必要条件，那么是成立的：
（ ）
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分，也不必要条件
⑷ 以
的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为
（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
⑸ 若一个等差数列前3项的和为30，最后三项的和为150，且所有项的和为300，则这个数列有（ ）
(A)12项 (B)11项 (C)10项 (D)9项
⑹ 如图，长方体
中，AC与BD的交点为M，设
a,
=b,
c,则下列向量中与
相等的向量是：（ ）
(A)
a + 
b + c
(B) a + b + c
(C) a -b + c
(D) a - b + c
⑺ 
（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
⑻ 曲线
与直线
所围成图形的面积等于
（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
⑼ 正三棱柱(侧棱与底面垂直，底面是正三角形的棱柱)的体积是V，当其表面积最小时，底面边长是（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
⑽ 在一座20m高的观测台测得地面一水塔顶仰角为，塔底俯角为，那么这座塔的高为 （ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
⑾ 若A（3，2），F为抛物线
的焦点，P在抛物线上，则使
最小时的P点坐标为（ ）
(A)（2，2） (B)（3，
） (C) （3，－） (D) （3，±）
⑿ 已知三个不等式：①
； ②
； ③
≤0.要使同时满足①式和②式的所有x的值都满足③式，则实数m的取值范围是
（ ）
(A)
(B) 
(C)
≤6 (D)0<≤9
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
⒀在中，已知
，
，
，则
.
⒁若正数
满足
，则
的取值范围是 .
⒂到定点（3，0）的距离和到直线
的距离的比是常数
的点的轨迹方程是 .
⒃下列命题中：
①若
为两个命题，则“且
为真”是“或为真”的必要不充分条件；
②若为：
≤0，则
；
③若椭圆
的两焦点为
，且弦AB过
点，则
的周长为16；
④若
；
所有正确命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
⒄（本小题满分12分）
已知等比数列
中，
，求其第4项及前5项和.
⒅（本小题满分12分）
已知函数
（I） 求出函数的单调区间；
（II）求
在
上的最大值和最小值.
⒆（本小题满分12分）
已知
满足条件
求
的最大值和最小值.
⒇（本小题满分12分）
如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)
,底面中
，棱
，
分别为
D的中点.
（I） 求
的长；
（II） 求
>的值；
（III）求证：
.
（21）（本小题满分12分）
某地为发展旅游产业，在原有基础上，本年度投入资金800万元进行生态环境建设，并且以后每年都有资金投入，但是均比上年减少
．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
．
(I)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出 an，bn的表达式；
(II)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
（22）（本小题满分14分）
已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（
，0）
（I） 求双曲线C的方程；
（II） 求若直线
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
(其中O为原点)，求
的取值范围；
（III） 已知点
,在（II）的条件下，求
到直线
的距离
的取值范围.
参考答案
一、选择题（本题共12小题；每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | B | A | D | C | A | D | C | B | B | A | C |
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.
14.
15.
16.②④
三、解答题（本大题共6小题，满分74分）
17.解：设公比为， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分
由已知得 
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3分
|
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分
②÷①得 
， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7分
将
代入①得 
， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8分
， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10分
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12分
18.解：（Ⅰ）
，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 1分
列表如下：
|
|
| －1 |
|
|
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
|
| ↗ |
| ↘ |
| ↗ |
┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分
由上表可知
和
均为函数的单调递增区间，
为函数的单调递减区间 . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7分
（Ⅱ）极值点－1，
均属于， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8分
又
， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10分
故在上的最小值是
，最大值是16. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12分
19.解：在同一坐标系中，作直线
，再根据不定式组确定可行域（如图）.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6分
把
看作点
到原点O的距离的平方.
由
解得点A
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8分
所以
； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10分
因为原点到直线BC的距离为
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 11分
所以
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12分
20.解：如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为
轴、
轴、
轴，建立如图所示的坐标系
－
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 1 分
（Ⅰ）依题意得
∴ 线段BN的长为 . ┄┄┄┄┄┄ 3 分
（Ⅱ）依题意得
,
∴ 
∴
, ┄┄┄┄ 5 分
∴>=
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7 分
(Ⅲ) 依题意得
∴ 
,
∴ 
,
,
,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄
9 分
∴
∴ 
,
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 11 分
∴ 
∴
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12 分
21 解．(I)第1年投入为800万元．
第2年投入为800×(1-)万元，
第n年投入为800×(1-)n-1万元. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 1 分
所以，n年的总收入为
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3 分
第 1年旅游业收入为 400万元，
第 2年旅游业收入为 400 ×(1+)万元，
第n年旅游业收人为400×(1+)n-1
万元．
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 4 分
所以，n年内的旅游业总收入为
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6 分
（II）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7 分
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8 分
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄
10 分
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 11 分
∴ 至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12 分
22.解：（Ⅰ）设双曲线方程为
，
由已知得 
故所求双曲线的方程为 
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 4 分
（Ⅱ） 将
代入 ，可得
由直线
与双曲线C恒有两个不同的交点，得
故
┄┄ ①
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6 分
设
，则
由得 
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8 分
而
∴
解此不定式得 
┄┄ ② ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 9 分
由①，②得 
故 的取值范围是
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10 分
（Ⅲ）点M到直线的距离为：
∴
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12 分
设 
，
则 
， ∵
∴
∴ 
在区间上均为增函数.
当
时，
，
即 
，此时 
；
当
时，
，
即 
，此时 
；
综上所得到直线的距离的取值范围是
┄┄┄┄┄┄┄ 14 分