2004年春湖北省部分重点中学期中联考
高二数学试卷
班级
姓名
分数
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1、下列说法正确的是（ ）
A．两两相交的三条直线共面
B．两条异面直线在同一平面上的射影可以是一条直线
C．一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线和该平面平行
D．不共面的四点中，任何三点不共线
2、如图，正方体
的棱长为1，则直线
和
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
3、
、
是两条异面直线，所成的角为
，直线
与、
所成的角均为，则这样的直线有（ ）
A．一条 B．两条
C．四条 D．无数多条
4、在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的
立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得
其中三根立柱
、
、
的长度分别为
、
、
，则立柱
的长度是（ ）
A． B．
C．
D．
5、设
、
表示平面，
表示不在内也不在内的直线，给出下列命题：
① 若
，∥，则
② 若∥，，则
③ 若，，则∥
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D. ①②③
6、
为正三角形，
是所在平面外一点，且
，
与的面积之比为
∶
，则二面角
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
7、要在一个体积为V的三棱柱木块
的两端刨去两个三棱锥
和
，把剩余部分加工成一个魔术道具，则该道具的体积是（ ）
A．
B．
C．
D． 
8、 命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；
命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有（ ）
A．
个 B．个
C．个
D．个
9、将正方形
沿对角线
折叠成一个四面体，当该四面体的体积最大时，直线 与
所成的角为（ ）
A．
B． C． D．
10、每个面都是三角形的简单多面体，面数与顶点数的比是
∶，则这个多面体的面数是（ ）
A．五 B．六 C．七 D．八
11、侧棱长为的正三棱锥的侧面是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
12、如图所示，在单位正方体的面对角线
上存在一点使得
最短，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。将答案填在题中横线上。）
13、类比凸
边形的内角和公式，可得棱柱相邻侧面所成二面角之和为
.
14、在一个
的二面角内，放置一个玻璃球，球与两个半平面分别相切于
、
两点，已知、两点的球面距离是
，则玻璃球的直径为
.
15、将边长为
的正方形钢板适当剪裁，再焊接成一个密闭的正四棱柱水箱，并要求这个水箱的全面积等于该正方形钢板的面积（要求剪裁的块数尽可能少，不计焊接缝的面积），则该水箱的容积为
.
16、判断下列命题的正确性，并把所有正确命题的序号都填在横线上 .
① 若直线∥直线，
平面，则直线∥平面
② 在正方体内任意画一条线段，则该正方体的一个面上总存在直线与线段垂直
③ 若平面
平面，平面
，则平面∥平面
④ 若直线平面，直线∥平面，则直线直线
选择题答题栏
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 得分 |
| 答案 |
填空题答案：
13、___________________________ 14、___________________________
15、___________________________ 16、___________________________
三、解答题：（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、（本小题满分12分）
在中，
，线段
平面
，点在平面
上的射影为
.
求证：不可能是
的垂心.
18、（本小题满分12分）
如图所示，已知正的边长为，
、
分别是边
上的三等分点，沿
、
把折成三棱锥
，使、
两点重合于点
，
是
的中点.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求三棱锥的体积.
班级 姓名
19、（本小题满分12分）
在直三棱柱
中，
，
，
.
（1）求证：
；
（2）求点
到平面
的距离.
20、（本小题满分12分）
在长方体中，
，底边 上有且只有一点使得平面
平面
.
（1）求异面直线
与
的距离；
（2）求二面角
的大小.
21、（本小题满分12分）
已知正四棱锥
的底面边长和侧棱长均为
，、分别是
、上的点，且
.
（1）求证：直线
∥平面
；
（2）求直线与平面所成的角；
22、（本小题满分14分）
已知斜三棱柱的侧面
是边长为的菱形， 
，侧面底面，
，二面角
为30°.
（1）求证：
；
（2）求
与平面所成角的正切值；
（3）在平面
内找一点，使三棱锥
为正三棱锥，并求该棱锥底面
上的高.
2004年春湖北省部分重点中学期中联考
高二年级数学试卷参考答案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
DCDBA BCBBD DA
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13．
14．
15．
16．②④
三、解答题：（共74分）
17．（本小题满分12分）
证明：假设是的垂心…………2分
连结
并延长与
相交
∵
平面
∴是在平面内的射影
又∵
∴
…………………6分
又∵
平面
∴
是在平面内的射影
∴ 
…………………10分
这与
矛盾
∴不可能是的垂心…………12分
18．（本小题满分12分）
证明：（1）∵
∴
∴
平面…………………3分
又∵
平面
∴平面
平面…………6分
（2）在
中，
∴
∴
∴
…………9分
由（1）知
………12分
19．（本小题满分12分）
证明：（1）连结，则
又∵
∴
平面
∴ 
………4分
又∵
∴
平面
∴
…………………6分
（2）由（1）知 ∵
∵
∴
∴
…………………8分
设所求距离为
∵
∴
∴
∴
…………12分
20．（本小题满分12分）
证明:(1)过作
于
∵平面
平面且平面
平面
∴
平面
∴
又∵
∴
平面
∴
…………………2分
又∵满足条件的只有一个
∴以为直径的圆必与相切，
切点为，为的中点
∴
∴
………4分
∵平面，∴
又∵
，所以
为异面直线与的公垂线段
的长度为所求距离 
…………………6分
（2）取中点，连结
，则
平面
过作
于，连结，则
∴
为二面角的平面角…………………9分
又∵
,
在
中
∴
…………………12分
21．（本小题满分12分）
证明：（1）连结
并延长与交于
∵
∽
∴
∴
∴∥
………………5分
又∵
平面
∴∥平面……………6分
（2）∵∥
∴、与平面所成的角相等…………………8分
设、交于
，连结
、
∵
，∴
为所求的角……………9分
∵
∴
在
中
…………10分
又∵
∴
在
中 
∴
…………………12分
22．（本小题满分14分）
证明：（1）∵平面
平面
平面
平面
又∵
平面
∴
平面…………………4分
（2）取的中点，则
∵平面 ∴
∴
为二面角
的平面角 ∴
∵
∴
…………………6分
连结
，则
为与平面所成的角
在
中 
…………………9分
（3）在上取一点使
，过作的平行线与交于，则点为所求
…………………12分
∵∥
∴
平面且是正
的中心
∴为正三棱锥
∴所求高为
…………………14分