高二数学同步测试（8）—双曲线及几何性质

　 高中学生学科素质训练

 　　 高二数学同步测试（8）—双曲线及几何性质

共150分，考试用时120分钟

一、选择题（本题每小题5分，共60分）

1．设c、e分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线(a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是　　　　　　　　  　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　 　　　　　 D．

2．双曲线的两焦点为F₁，F₂，P在双曲线上，且满足PF₁+PF₂= 则△PF₁F₂的面积为　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　　　C．2　　　 　　　　　　D．4

3．二次曲线，时，该曲线的离心率e的取值范围是　　　　（　　）

　 A．　　　　 B．　　　　C． 　　　 D．

4．已知椭圆与双曲线有相同的焦点和

　 .若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　 　　　　　　　D．

5．已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则双曲线的离心率e的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　 D．

6．如果双曲线上一点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离

　 是　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　 B．13 　　　　　　　　　 C．5　　　　　　　　　　　　D．

7．若双曲线的焦点到它对应的准线的距离2，k= 　　　　　　　　 （　　）

　　　 A． 6　　　　　　　　　 B． 8 　　　　　　　　C． 1　　　　　　　　D． 4

8．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F₂分

　 别是双曲线的左、右焦点，若，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．1或5　　　　　　　　 B． 6 　　　　　　　　　 C． 7　　　　　　　　　　　D． 9

9．若椭圆与双曲有相同的焦点F₁，F₂，P是两条曲线的一个交点，则PF₁·PF₂的值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　C．　　　　　　D．

10．双曲线方程为，那么k的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．k＞5　　　　　　　　　 B．2＜k＜5　　　　　　　C．－2＜k＜2　　　　　D．－2＜k＜2或k＞5

11．双曲线的渐近线方程是y=±2x，那么双曲线方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．x²－4y²=1　　　　　 B．x²－4y²＝1 　　　 C．4x²－y²=－1　　　　D．4x²－y²=1

12．过原点作直线与双曲线相交，则直线l的斜率k的取值范围是　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　D．

二、填空题（本题每小题4分，共16分）

13．设双曲线的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰好过F点，则离心率为　　　　

14．双曲线的离心率为，则a:b=　　　　 

15．双曲线 的两个焦点为F₁，F₂，点P在双曲线上，若，则P到x轴的距离为　　　　  

16．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点.若PF₁=3，则点P到双曲线右准线的距离是　　　　　  .

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．(本题12分)　　给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程．

18．(本题12分). 若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则．

19．(本题12分)已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是

　 （1）求双曲线的方程；

　 （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

20．(本题12分)  某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？

21．(本题12分)已知梯形ABCD中，AB=2CD，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围．

22．(本题14分)直线的右支交于不同的两点A、B.

　 （1）求实数k的取值范围；

　 （2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

参考答案（8）

一．选择题 (本大题共12小题, 每小题5分, 共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	D	B	C	A	B	A	A	C	A	D	D	B

二．填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）

13． 　　　 14.　4或　　　　15.　　　　　16.

三解答题（本大题共6题，共74分）

17．(本题12分)。分析：设，代入方程得，．

　　两式相减得

　　。

　　又设中点P（x,y），将，代入，当时得

。

又，　　代入得。

当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程

是。

18．(本题12分)解：设A（），B（）则M（）

　　又A、B分别在上，则有

　　

　　由得，

　　即，

　　　 

19．(本题12分)∵（1）原点到直线AB：的距离.

　　 故所求双曲线方程为

（2）把中消去y，整理得 .

　　 设的中点是，则

　　

　 

即

故所求k=±.　　 为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.

20． (本题12分)以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则

　　MA+AP=MB+BP,　　即 MA－MB=BP－AP=50,

,　∴M在双曲线　　　　　　　  的右支上.

故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往

P处，按这种方法运土石最省工.

21．(本题12分)显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。

如图建立坐标系，这时CD⊥y轴，

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，

由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。

依题意，记A(－C,0)，C(h)，E(x₀,y₀),其中

c=为双曲线的半焦距，h是梯形的高。

由,即(x₀+c,y₀)= (－x₀,h－y₀)　

得:x₀=.设双曲线的方程为,则离心率e=。由点C、E

在双曲线上,将点C、E的坐标和e=代入双曲线的方程得

将（1）式代入（2）式,整理得(4-4)=1+2,故=1.

依题设得,解得.

所以双曲线的离心率的取值范围是.

22．(本题14分)（１）将直线l的方程代入双曲线C的方程后，整

理得……①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，

故

　 （2）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得

……②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.

则由FA⊥FB得：

整理得……③把②式及代入③式

化简得