二项式定理复习

二项式定理（第一次作业）

 

姓名：__________用时：45分钟__________满分：60分__________得分：__________

 

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　　掌握二项式定理及二项展开式的性质．二项展开式具有以下特性：(1)它有n＋1项；(2)各项的次数都等于二项式的次数n；(3)(a＋b)ⁿ展开式中，字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0到n；(4)各项的系数依次为、、…、．(5)公式中的a、b可以是代数式．

　　掌握二项展开式的通项公式T_r＋1＝＝0，1，2，3，…，n．

 

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．(-x)ⁿ的展开式中第r项的二项式系数是(　)

　　A．　　　　　　　　　　　　 B．

　　C．　　　　　　　　　　　　　　D．以上都不是

　　2．()⁶的展开式中的第三项是(　)

　　A．　　　　　　　　　　　　　　 B．-

　　C．　　　　　　　　　　　　　　 D．以上都不是

　　3．(2)⁶的展开式中的第三项系数是(　)

　　A．　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　C．240　　　　　　　　　　　　　　 D．160

　　4．把(x-1)⁹按x的降幂排列，系数最大的项是(　)

　　A．第四项和第五项　　　　　　　　　　 B．第五项

　　C．第五项和第六项　　　　　　　　　　 D．第六项

　　5．n∈N^*，二项式(a＋b)²ⁿ的展开式中各项系数的最大值一定是(　)

　　A．奇数

　　B．偶数

　　C．不一定是整数

　　D．是整数，但奇偶与n的取值有关

 

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．(m＋n)⁷展开式中，共有________项，字母m的指数由________逐项减至________，字母n的指数由________逐项增至________，字母m和n的指数和为________．

　　2．展开(a＋b)⁴为____________，它的通项公式是____________．

　　3．(1-)¹⁰的展开式中的第五项是________．

　　4．(1-3x)⁶的展开式中含x⁵项的系数是________．

　　5．()¹²的展开式中第r＋1项是____________________．

 

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

　　1．求(3)¹⁰的展开式中的第4项的二项式系数，第4项的系数，第4项．

 

 

　　2．求(x²＋)¹⁰的展开式中的常数项．

 

 

　　3．求()⁹展开式中的有理项．

 

 

　　4．若(x＋-2)ⁿ的展开式的常数项为-20，求n．

 

 

　　5．证明：2≤(1＋)ⁿ＜3．

 

 

 

参考答案

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．C　2．C　3．C　4．A　5．B

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．8　7　0　0　7　7

　　2．a⁴＋a³b＋a²b²＋ab³＋b⁴　T_r＋1＝a^4-rb^r(r＝0，1，2，3，4)

　　3．x⁴　4．-1458　5．T_r＋1＝(-)^r(r＝0，1，2，…，12)

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

　　1．解：(3-)¹⁰的展开式的通项是：T_r＋1＝(3)^10-r

　　(-)^r(r＝0，1，2，…，10)．

　　(1)展开式的第4项的二项式系数为：＝120．

　　(2)展开式的第4项的系数为：3⁷(-)³＝-77760

　　(3)展开式的第4项为：-77760()⁷＝-77760

　　2．解：设第r＋1项为常数项，则T_r＋1＝(x²)^10-r()^r，

　　＝　 r＝0，1，2，…，10

　　令20-r＝0，得r＝8

　　∴　T₉＝()⁸＝．

　　3．解：设第r＋1项为有理项，则

　　T_r＋1＝()^9-r(-)^r＝(-1)^r

　　令∈Z，即4＋∈Z，且r＝0，1，2，…，9

　　∴　r＝3或r＝9．

　　当r＝3时，＝4，T₄＝(-1)³x⁴＝-84x⁴

　　当r＝9时，＝3，T₁₀＝(-1)⁹x³＝-x³

　　∴　(-)⁹展开式中的有理项是：第四项-84x⁴，第十项-x³

　　4．解：由题意可知，x≠0

　　(1)当x＞0时，(x＋-2)ⁿ＝(-)²ⁿ

　　其通项公式为：T_r＋1＝()^2n-r(-)^r

　　＝(-1)^r()^2n-2r

　　令2n-2r＝0，得n＝r，

　　∴　展开式的常数项为(-1)ⁿ

　　(2)当x＜0时，(x＋-2)ⁿ＝()²ⁿ

　　同理可知，展开式的常数项为：(-1)ⁿ

　　∴　无论哪一种情况都有常数项为：(-1)ⁿ

　　令(-1)ⁿ＝-20，以n＝1，3，5，…逐个代入，得n＝3

　　5．证明：当n＝1时，(1＋1)¹＝2，不等式成立．

　　当n＞1时，(1＋)ⁿ＝1＋＋＋…＞1＋1＋＞2．

　　∴　2≤(1＋)ⁿ

　　又∵　＝·≤·

　　∴　(1＋)ⁿ＝1＋＋  ＋…＋≤2＋＋＋…＋

　　＜2＋＋…＋＝2＋1-＜3．

　　∴　2≤(1＋)ⁿ＜3．

二项式定理（第二次作业）

 

姓名：__________用时：45分钟__________满分：60分__________得分：__________

 

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　　能区别系数与二项式系数，掌握二项式系数性质．(r＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数，这是一组仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，而与a、b无关．二项式系数有三条性质：(1)对称性；(2)增减性；(3)二项式系数之和．

 

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．二项式(a＋b)⁹的展开式中(a＞0，b＞0)系数最大的项是(　)

　　A．第六项

　　B．第五项

　　C．第五项和第六项

　　D．以上都不对

　　2．(1-x)¹¹的展开式中含x的奇次方的项的系数和是(　)

　　A．1024　　　　　　　　　　　　　　　 B．-1024

　　C．-1025　　　　　　　　　　　　　 D．1023

　　3．(1＋a)ⁿ的展开式中的第5项、第6项、第7项的系数成等差数列，则n的值为(　)

　　A．7　　　　　　　　　　　　　　　 B．14

　　C．7和14　　　　　　　　　　　　　D．以上都不对

　　4．(1-2x)⁵的展开式中的第二项小于第一项而不小于第三项，则x的取值范围是(　)

　　A．x＞-　　　　　　　　　　　　 B．x≥-

　　C．-≤x≤0　　　　　　　　　　　 D．-＜x≤0

　　5．将(x＋-2)³展开，其中值为常数的各项之和等于(　)

　　A．-8　　　　　　　　　　　　　　　B．-12

　　C．-20　　　　　　　　　　　　　　 D．20

 

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．(2x＋)⁸的展开式中的中间项是________．

　　2．(x-)⁵展开式中的第三项的二项式系数为________，第三项的系数为________．

　　3．(2x³-)⁵展开式中的常数项是________．

　　4．若(1＋x)ⁿ的展开式中，x³的系数等于x的系数的7倍，则n＝________．

　　5．设n是正整数，则＋…＋(-1)^k＋…＋(-1)ⁿ＝________．

 

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

　　化简：(tan⁸q ＋cot⁸q )＋(tan⁶q ＋cot⁶q )＋(tan⁴q ＋cot⁴q )＋(tan²q ＋cot²q )．

 

 

　　2．已知(a²＋1)ⁿ展开式中的各项系数之和等于(x²＋)⁵展开式的常数项，而(a²＋1)ⁿ的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a的值．

 

 

　　3．求()(1＋x)ⁿ展开后经合并得到的常数项．

 

 

　　4．(＋2)^2n＋1的展开式中，含x的整数次幂的各项系数之和是多少？

 

 

　　5．是否存在常数a、b、c，使得等式1·2²＋2·3²＋…＋n(n＋1)²＝n(n＋1)(an²＋bn＋c)对一切正整数都成立，并证明你的结论．

 

 

 

参考答案

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．C　2．B　3．C　4．D　5．C

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．　2．10　　3．-40　4．8　5．2ⁿ

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

　　1．解：(tan⁸q ＋cot⁸q )＋(tan⁶q ＋cot⁶q )＋(tan⁴q ＋cot⁴q )＋(tan²q ＋cot²q )

　　＝tan⁸q ＋tan⁷q cotq ＋tan⁶q cot²q ＋tan⁵q cot³q ＋tan⁴q cot⁴q ＋

　　tan³q cot⁵q ＋tan²q cot⁶q ＋tanq cot⁷q ＋cot⁸q -

　　＝(tanq ＋cotq )⁸-

　　＝-

　　＝-70

　　2．解：(x²＋)⁵展开式的通项为：

　　T_r＋1＝(x²)^5-r()^r

　　＝()^5-r

　　由20-5r＝0，得r＝4

　　∴　常数项为T₅＝＝16

　　又(a²＋1)ⁿ展开式中的各项系数之和等于2ⁿ．

　　∴　2ⁿ＝16

　　∴　n＝4．

　　由二项式系数的性质知，(a²＋1)ⁿ的展开式中系数最大的项是中间项，

　　∴　(a²)²＝54，解得a＝±

　　3．解：∵　()(1＋x)ⁿ

　　＝()(＋x＋…＋x^k＋…＋xⁿ)

　　要得到常数项，只要将第一个多项式中的项，与第二个多项式中的x^k项相乘，再把各乘积项相加．

　　∴　常数项为x＋x²＋…＋x^k＋…＋xⁿ

　　＝＋2＋…＋k＋…＋n

　　＝(2·＋2·2·＋…＋2·k·＋…＋2·n·)

　　＝(2·0·＋2·＋2·2·＋…＋2·k·＋…＋2·n·)

　　＝［(0＋n) ＋(1＋n-1) ＋(2＋n-2) ＋…＋(k＋n-k) ＋…＋(n＋0) ］

　　＝(n＋n＋n＋…＋n＋…＋n)

　　＝( ＋＋＋…＋＋…＋)

　　＝2ⁿ

　　＝n2^n-1

　　4．解：展开式的通项公式是：T_r＋1＝C^r_2n＋12^r

　　x的幂指数要为整数，r需为奇数，

　　所以，含x的整数次幂的各项系数之和是

　　_n＋1·2＋·2³＋·2⁵＋…＋·2^2n＋1

　　∵　(1＋2)^2n＋1

　　＝＋·2＋·2²＋·2³＋…＋·2^2n＋1①

　　(1-2)^2n＋1＝-·2＋·2²-·2³＋…-·2^2n＋1②

　　①-②得，

　　(1＋2)^2n＋1-(1-2)^2n＋1＝2(·2＋·2³＋·2⁵＋…＋·2^2n＋1)

　　∴　·2＋·2³＋·2⁵＋…＋·2^2n＋1＝(3^2n＋1＋1)

　　∴　含x的整数次幂的各项系数之和是(3^2n＋1＋1)．

　　5．解：∵　n(n＋1)²＝n(n＋1)［(n＋2)-1］＝n(n＋1)(n＋2)-n(n＋1)

　　＝6

　　∴　根据组合数的性质，原式左边＝1·2²＋2·3²＋…＋n(n＋1)²

　　＝(6-2)＋(6-2)＋…＋(6)

　　＝6(＋＋…＋)-2(＋＋…＋)

　　＝6

　　＝n(n＋1)(3n²＋11n＋10)

　　原式右边＝n(n＋1)(an²＋bn＋c)

　　比较左、右两式知，存在常数a＝3，b＝11，c＝10，满足题设要求．

二项式定理（第三次作业）

 

姓名：__________用时：45分钟__________满分：60分__________得分：__________

 

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　　利用二项式定理及特殊值，求展开式系数的和，利用二项展开式求解多项式展开问题．

 

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．设(1＋x)⁶(1-2x)⁵＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a₁₁x¹¹，则a₀＋a₁＋a₂＋…＋a₁₁等于(　)

　　A．-65　　　　　　　　　　　　　　 B．-64

　　C．-63　　　　　　　　　　　　　　 D．-62

　　2．在()²⁰的展开式中，系数是有理数的项的项数是(　)

　　A．4项　　　　　　　　　　　　　　　　B．5项

　　C．6项　　　　　　　　　　　　　　　　D．7项

　　3．(a＋b＋i)¹⁰的展开式中含ab的项的系数是(　)

　　A．　　　　　　　　　　　　　　B．

　　C．　　　　　　　　　　　　　　D．

　　4．对3．002⁶作近似计算，精确到千分位，则该位上的数字是(　)

　　A．1　　　　　　　　　　　　　　　 B．2

　　C．3　　　　　　　　　　　　　　　 D．4

　　5．101¹⁰-1的尾数连续的零的个数是(　)

　　A．1个　　　　　　　　　　　　　　　　B．2个

　　C．3个　　　　　　　　　　　　　　　　D．4个

 

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．(1＋)ⁿ的展开式的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．

　　2．在(ax＋1)⁷的展开式中，x³的系数是x²的系数与x⁴的系数的等差中项，若实数a＞1，那么a＝________．

　　3．(1＋x)＋(1＋x)²＋(1＋x)³＋…＋(1＋x)ⁿ的展开式中含x²项的系数是________．

　　4．若2000＜＜3000，则n＝________．

　　5．53⁵³除以11，余数是________．

 

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

　　1．求4×6ⁿ＋5^n＋1除以20的余数．

 

 

　　2．已知a₀，a₁，a₂，a₃，…，a_n-1，a_n成等差数列，求证＋＝(a₀＋a_n)2^n-1．

 

 

　　3．求(1＋2x)¹²展开式中系数最大的项．

 

 

　　4．数列{a_n}的通项a_n是二项式(1＋x)ⁿ与(1＋)²ⁿ的展开式中所有x的次数相同的各项系数的和，试求a_n的前n项和S_n．

 

 

　　5．已知I、m、n是正整数，且1＜i≤m＜n．

　　(1)证明nⁱ＜mⁱ；

 

 

　　(2)证明(1＋m)ⁿ＞(1＋n)^m．

 

 

 

参考答案

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．A　2．A　3．C　4．A　5．C

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．6x　2．1＋　3．　4．11　5．8

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

　　1．解：∵　4×6ⁿ＋5^n＋1＝4×6ⁿ＋5×5ⁿ

　　＝4×(5＋1)ⁿ＋5×(4＋1)ⁿ

　　＝4×(5ⁿ＋5^n-1＋5^n-2＋…＋5＋)＋5×(4ⁿ＋4^n-1＋4^n-2＋…＋4＋)

　　＝4×(5ⁿ＋5^n-1＋5^n-2＋…＋5)＋4×＋5×(4ⁿ＋4^n-1＋4^n-2＋…＋4)＋5×

　　＝20×(5^n-1＋5^n-2＋5^n-3＋…＋)＋20×(4^n-1＋4^n-2＋4^n-3＋…＋)＋9

　　＝20×［(5^n-1＋5^n-2＋5^n-3＋…＋)＋( 4^n-1＋4^n-2＋4^n-3＋…＋)］＋9

　　∴　4×6ⁿ＋5^n＋1除以20的余数为9．

　　2．证明：∵　a₀，a₁，a₂，a₃，…，a_n-1，a_n成等差数列，

　　设a_n＝a₀＋nd，d是公差，n∈N，则，

　　a₀＋a₁＋a₂＋…＋a_n-1＋a_n

　　＝a₀＋(a₀＋d)＋  (a₀＋2d)＋…＋［a₀＋(n-1)d］＋(a₀＋nd)

　　＝(a₀＋a₀＋a₀＋…＋a₀＋a₀)＋［0d＋d＋2d＋…＋(n-1)d＋nd］

　　＝a₀(＋＋＋…＋＋)＋［20d＋2d＋22d＋…＋2(n-1)d＋2nd］

　　＝a₀2ⁿ＋［(＋)0d＋(＋)d＋(＋)2d＋…＋(＋)(n-1)d＋(＋)nd］

　　＝a₀2ⁿ＋{(0d＋nd) ＋［d＋(n-1)d］＋［2d＋(n-2)d］＋…＋［(n-1)d＋d］＋(nd＋0d) }

　　＝a₀2ⁿ＋nd(＋＋＋…＋＋)

　　＝a₀2ⁿ＋nd2ⁿ＝(2a₀＋nd)2^n-1

　　＝(a₀＋a₀＋nd)2^n-1＝(a₀＋a_n)2^n-1

　　3．解：设T_r＋1项系数最大，则有

　　T_r＋1系数≥T_r系数，

　　T_r＋1系数≥T_r＋2系数

　　∴　2^k≥　①

　　2^k≥　 ②

　　解①、②得≤r≤

　　∵　r是非负整数，∴　r＝8

　　∴　第9项的系数最大．T₉＝(2x)⁸＝126720x⁸

　　4．解：(1＋x)ⁿ展开式中含x的次数是0，1，2，3，…，n；(1＋)²ⁿ的展开式中含x的次数是0，，1，，2，…，n，

　　所以，两个展开式中所有x的次数相同的系数和为

　　a_n＝(＋＋＋…＋＋)＋()＝2ⁿ＋2^2n-1

　　S_n＝2(2ⁿ-1)＋

　　＝(2^2n＋1＋3·2^n＋1-8)

　　5．证明：(1)对于1＜i≤m，有＝m(m-1)…(m-i＋1)

　　…，

　　同理，…

　　由于m＜n，对整数k＝1，2，3，…，i-1，有，

　　所以，，

　　即nⁱ＜mⁱ

　　(2)由二项式定理有(1＋m)ⁿ＝mⁱ，(1＋n)^m＝nⁱ，

　　由(1)知nⁱ＜mⁱ(1＜i≤m＜n)

　　而＝，

　　所以mⁱ＞nⁱ，1＜i≤m＜n

　　因此，mⁱ＞nⁱ，

　　又m⁰＝n⁰＝1

　　m＝n＝mn，mⁱCⁱ_n＞0，1＜i≤m＜n

　　∴　

　　即(1＋m)ⁿ＞(1＋n)^m