概 率 过 关 题 精 选
1、书架上有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本.从这个书架上任意
抽取两本书，这两本书不是同一种文字的概率是
2、甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分掺混后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
先计算白球减少的概率，从甲袋中取出白球概率为
，再从乙袋中取出黑球概率为
所求概率为1-
3、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲射中的概率是 （ ）
A．0.6 B．
C．
D．
4、甲、乙两人投篮，命中率分别为0.4和0.6，每人各投两次.
求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投进两球；
（Ⅱ）两人至少投进三个球.
解（Ⅰ）P（甲投进两球）=
，……………………………2分
P（乙投进两球）=
………………………………………………4分
P（两人都投进两球）=
………………………………………6分
（Ⅱ）P（甲投进一球）=
P（乙投进一球）=……………………………………………8分
P（甲投进两球乙投进一球）=
P（甲投进一球乙投进两球）=
∴P（两人至少投进三个球）=
……………11分
答：两人都投进两球的概率是0.0576，两人至少投进3个球的概率是0.3072.…12分
5、已知：有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（Ⅰ）事件A：指定的4个房间各有1人；（Ⅱ）事件B：恰有4个房间各有1人；（Ⅲ）事件C：指定的某个房间有2人。
解：由于每人可进住任1房间，进住哪间房是等可能的，每人都有6种等可能的方法，
根据乘法原理，4人进住6个房间共有64种方法 ……3分
（Ⅰ）指定的4个房间各有1人，有
种方法，
……6分
（Ⅱ）从6间中选出4间有
种方法，4个人每人去1间有种方法，
……9分
（Ⅲ）从4人中选2个人去指定的某个房间，共有
种选法，余下2人每人都可去5个房间中的任1间,因而有52种种方法。
……12分
6、如图：用A、B、C、D四类不同的元件连接成系统N，当元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或当元件A正常工作且元件D正常工作时，系统N正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为
（Ⅰ）求元件A不正常工作的概率；
（Ⅱ）求元件A、B、C都正常工作的概率；
（Ⅲ）求系统N正常工作的概率.
解：（Ⅰ）元件A正常工作的概 率P（A）=
，它不正常工作的概率
（2分）=
（3分）
（Ⅱ）元件A、B、C都正常工作的概率P(A·B·C)=P（A）P（B）P（C）（5分）
（Ⅲ）系统N正常工作可分为A、B、C都正常工作和A、D正常工作但B、C不都正常工作两种情况，前者概率
，（7分）后者的概率为
（10分）
，
所以系统N正常工作的概率是
7、甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为
和
，求：
①恰有一个人译出密码的概率；
②至多一个人译出密码的概率；
解：①
……5分 ②
……10分
8、设在一袋子内装有5只白球，5只黑球，从这袋子内任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子中，求在这5次取球中（结果保留两个有效数学）
①取得白球3次的概率；
②至少有1次取得白球的概率
解：记“取球一次得白球”为事件A，“取球一次得黑球”为事件B.
①
…6分
②
9、为了测试甲、乙两名篮球运动员投定位球的水平，在罚球线上让他们各投篮10次，甲投中7次，乙投中6次，如果让甲、乙依照各自的水平再投篮3次，求：
①甲运动员恰好投中2次的概率是什么？
②两名运动员都恰好投中2次的概率是多少？（结果保留两个有效数学）
解：设事件A：甲运动员投篮1次，投中 . 事件B：乙运动员投篮1次，投中 .
∴P(A)=0.7 , P(B)=0.6 ①
…………6分
②
…………12分
10、一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（Ⅰ）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．
7． （Ⅰ）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A，
摸出两个球共有方法
种， 其中，两球一白一黑有
种. …………4分
.
………………………………6分
（Ⅱ）法一：记摸出一球，放回后再摸出一个球 “两球恰好颜色不同”为B，
摸出一球得白球的概率为
，摸出一球得黑球的概率为
， ……8分
“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”， ……………10分
.
……………………………12分
法二：有放回地摸两次，互相独立. 摸一次得白球的概率为
,……10分
“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 
…………………………………………12分
8、在某次考试中，甲、乙、丙三人合格（互不影响）的概率分别是
，
，，考试结束后，最容易出现几人合格的情况？
解：按以下四种情况计算概率,概率最大的就是最容易出现的情况.
⑴三人都合格的概率
………………………………………………2分
⑵三人都不合格的概率为
……………………… 4分
⑶恰有两人合格的概率
…………………………7分
⑷恰有一人合格的概率
………………………………… 10分
由此可知，最容易出现恰有１人合格的情况……………………………………………12分
9、一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m（0＜m＜1
如图，有如下三
种联接方法：
①
②
③
（1）分别求出这三种电路各自接通的概率；
（2）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.
解：三种电路各自接通分别记为事件A1、A2、A3，则P（A1）=m3…………3分
P（A2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3………6分 P（A3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3……9分
（2）P（A2）－P（A1）=3m－3m2=3m（1－m） ∵0＜m＜1 ∴P（A2）＞P（A1）………10分
P（A2）－P（A3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3）（m－1）＞0 ∴P（A2）＞P（A3）…………11分
三个电子元件并联接通的概率最大，故性能最优………………12分
10、同时抛掷15枚均匀的硬币一次
(1)试求至多有1枚正面向上的概率；
(2)试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等?请说明理由.
解：（1）记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A，P（A）=
，抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验，根据几次独立重复试验中事件A发生K次的概率公式，记至多有一枚正面向上的概率为P1
则P1= P15（0）+ P15（1）=
+
=
……………（6分）
（2）记正面向上为奇数枚的概率为P2，则有
P2= P15（1）+ P15（3）+…+ P15（15）=+
+…+
=
+…+
)–
………………………（10分）
又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚” 的事件是对立事件，记“出现正面向上为偶数枚” 的事件的概率为P3
P3=1–
= 相等
………………………（12分）
11、有一批种子，每粒发芽的概率为，播下5粒种子，计算：
（Ⅰ）其中恰好有4粒发芽的概率；
（Ⅱ）其中至少有4粒发芽的概率；
（Ⅲ）其中恰好有3粒没发芽的概率.
（以上各问结果均用最简分数作答）
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
12、某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是.从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是
，出现绿灯的概率是
.问：
（Ⅰ）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？
（Ⅱ）三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少？
解（Ⅰ）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是
；如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为
.………4分 综上，第二次出现红灯的概率为+
.……5分
（Ⅱ）由题意，三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式：
①当出现绿、绿、红时的概率为
；②当出现绿、红、绿时的概率为
；…9分
③当出现红、绿、绿时的概率为
；…………………………………………11分
所以三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率为++=
…12分
13、沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿灯交通信号，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（即通过绿灯）的概率分别为
，
，
，对于该大街上行驶的汽车，求：
（Ⅰ）在三个地方都不停车的概率；
（Ⅱ）在三个地方都停车的概率；
（Ⅲ）只在一个地方停车的概率．
解（1）
；…………………………………………3分
（2）
； …………………………………………9分
(3)
………………………………………12分
14、一盒中装有20个大小相同的弹子球，其中红球10个，白球6个，黄球 4个，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率
解：恰有3个红球的概率P1= 
……4′
有4个红球的概率P2=
……8′
至少有3个红球的概率P=P1+P2=
…………12′
15、某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品概率为0.1，将次品错误地鉴定为正品的概率为0.2，如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品，1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率。
解：将3件正品，1件次品鉴定为2件正品，2件次品有两种可能：
（1）将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中有1件错误地鉴定为次品，这时的概率为
。
（2）将原1件次品鉴定为正品，再将3件正品中的2件错误地鉴定为次品，这时的概率为
。
于是所求的概率
16、猎人射击距离100米远处的静止目标命中的概率为0.6
（1）如果猎人射击距离100米远处的静止目标3次，求至少有一次命中的概率；
（2）如果猎人射击距离100米远处的动物，假如第一次未命中，则进行第二次射击，但由于枪声惊动动物使动物逃跑从而使第二次射击时动物离猎人的距离变为150米，假如第二次仍未命中，则必须进行第三次射击，而第三次射击时动物离猎人的距离为200米。假如击中的概率与距离成反比，。求猎人最多射击三次命中动物的概率。
解：（1）记事件“猎人射击距离100米远处的静止目标3次，至少有一次命中”为A事件，
则P(A)=1-P(
)=1-0.4×0.4×0.4=0.936.
（2）记事件“第
次击中动物”为事件
（ =1,2,3），记事件“最多射击3次而击中动物”为事件B.
由条件P(B1)=0.6, P(B1)=
=0.4, P(B1)=
=0.3,
∵
,且是相互独立事件,又
、
、
是互斥事件，
∴
=0.832.
17、某班数学兴趣小组有男生和女生各３名，现从中任选２名学生去参加校数学竞赛，求：
（I）恰有一名参赛学生是男生的概率；
（II）至少有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率。
解、基本事件的种数为
=15种 ）
（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有
=9种 这一事件的概率P1=
=0.6（5分）
（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生所求事件的概率P2=
……（9分）
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没有男生和恰有一名参赛学生是男生所求事件的概率P3=
18、排球比赛的规则是5盘3胜制，A、B两队每盘比赛获胜的概率都相等且分别为和
.
（Ⅰ）前2盘中B队以2:0领先，求最后A、B队各自获胜的概率;
（Ⅱ）B队以3:2获胜的概率.
解:（Ⅰ）设最后A获胜的概率为
设最后B获胜的概率为
…………………………………4分
……………………8分
（Ⅱ）设B队以3:2获胜的概率为
……………………12
19、有外形相同的球分装在三个不同的盒子中，每个盒子10个球，其中第一个盒子中7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个，试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球，如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率
解：设事件A{从第一个盒子中取得一个标有字母A的球}，事件B={从第一个盒子中取
得一个标有字母B的球}，
则A，B互斥，且P（A）=
，P（B）=
；（4分）
事件C={从第二号盒子中取一个红球}，
事件D={从第三号盒子中取一个红球}，
则C，D互斥，且P（C）=
（8分）显然，事件A·C与事件B·D互斥，且事件A与C是相互独立的，
B与D也是相互独立的.所以试验成功的概率为
（11分）
答：本次试验成功的概率为
20、有甲、乙两个篮球运动员，甲投篮的命中率为0.7，乙投篮的命中率为0.6，每人各投篮三
次：
（Ⅰ）甲恰有2次投中的概率；
（Ⅱ）乙至少有1次投中的概率；
（Ⅲ）甲、乙两人投中数相等的概率。
解：(Ⅰ)甲恰有2次投中的概率
;…3分
(Ⅱ)乙至少有1次投中的概率可视为3次独立重复试验中乙投中次数不少于1的事件发生的概率
……7分
(Ⅲ)分4种情况①甲乙均未投中;②甲乙均投中1次;③甲乙均投中2次;④甲乙均投中3次;故所求概率为
.…………12分
21、在袋里装30个小球，其中彩球有：n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.
求：①如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？
②如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是
，计算红球有几个？
③根据②的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率？
解：①将5个黄球排成一排只有
种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空上，有
种放法 ∴所求的排法为
=5×4×3×2×6×5×4=14400（种）…4分
②取3个球的种数为
设“3个球全红色”为事件A，“3个全蓝色”为事件B，“3个球全黄色”为事件C. 
∵A、B、C为互斥事件 ∴P（A+B+C）= P（A）+P（B）+P（C） 即 
取3个球红球的个数≤2，又∵n≥2，故n = 2 ……8分 ③记“3个球中至少有一个是红球”为事件D，则
为“3个球中没有红球”
或 
22、高三（1）班、高三（2）每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：
①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；
②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛；
③先胜两盘的队获胜，比赛结束.
已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
（Ⅲ）高三（1）班代表队至少胜一盘的概率为多少？
解：（Ⅰ）参加单打的队员有
种方法.参加双打的队员有
种方法. （2分）
所以，高三（1）班出场画容共有
（4分）
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜.（6分）
所以，连胜两盘的概率为
（8分）
（Ⅲ）高三（1）班至少胜一盘，可分为：
（1）胜一盘，此时的概率为
（9分）
（2）胜两盘，此时的概率为
（11分）
所以，高三（1）班至少胜一盘的概率为
（12分）
或：高三（1）班代表队至少胜一盘的对立事件为输掉前两盘所以，
所求概率为
（12分）
23、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
（1）第3次拨号才接通电话；
（2）拨号不超过3次而接通电话.
解：设A1={第i次拨号接通电话}，i=1，2，3.
（1）第3次才接通电话可表示为
于是所求概率为
（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A1+
于是所求概率为
P（A1+
）=P(A1)+P(
)+P(
)=
24、一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是
相互独立的，并且概率都是
（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。
解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以
P=
（2）易知
∴
25、右图所示是一批产品中抽样得到数据的频率分布直方图，由图
中可看出概率最大时数据所落在的范围是 （ ）
A．（8.1，8.2） B．（8.2，8.3）
C．（8.4，8.5） D．（8.6，8.7）
26．一机床可以按各种不同的速度运转，其生产的零件有一些是二级品，每小时生产二级品的多少，随机床的运转速度而变化.下面是试验的结果：
| 速度（转/秒） | 二级品（件/小时） |
| 8 | 5 |
| 12 | 8 |
| 14 | 9 |
| 16 | 11 |
（1）作出散点图；
（2）求出机床速度与每小时生产的二级品件数的回归直线方程；
（3）若实际生产中，只允许每小时生产的二级品不超过10件，那么机床的速度不得超过多少转/秒？
解：（1）略； （2）
；（3）机床的旋转速度不能超过14.9013转/秒
27．深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑。请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
解：设该城市有出租东1000辆，那么依题意可得如下信息：
| 证人所说的颜色（正确率80%） | ||||
| 真 实 颜 色 | 蓝色 | 红色 | 合计 | |
| 蓝色（85%） | 680 | 170 | 850 | |
| 红色（15%） | 30 | 120 | 150 | |
| 合计 | 710 | 290 | 1000 | |
从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为
，而它是蓝色的概率
为
. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.……13分