高二理科数学下学期期末试卷 （理科）
班级 学号 姓名 分数
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数
等于（ D
）
A．
B．
C．1 D．
2.函数
的图像关于（ C ）
A．
轴对称 B． 直线
对称
C． 坐标原点对称 D．
直线
对称
3.记等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ D
）
A．16 B．
4.已知
，b都是实数，那么“
”是“>b”的D
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
5.在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=
,则角B的值为D
A. 
B.
C.或
D.
或
6.设
是球心
的半径
上的两点，且
，分别过
作垂直于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
7.在
中，
，
．若点
满足
，则
（ A
）
A．
B．
C．
D．
若函数
9.若双曲线
的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D
（A）3 （B）5
（C）
（D）
8.
的值域是
，则函数
的值域是B
A．
B．
C．
D．
10.已知函数
，
是
的反函数，若
（
），则
的值为（ A
）
A．
B．1 C．4 D．10
11.设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
（ D ）
A．2 B．
C．
D．
12.函数y＝lncosx(-
＜x＜
的图象是A
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.在
的展开式中，含
的项的系数是
。-15
14. 
. 
15.已知随机变量
服从正态分布N(3,a2),则P(
＝
。
16.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．96
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17（本小题满分12分）
已知函数
（
）的最小值正周期是
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的
的集合．
（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数
的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：
由题设，函数
的最小正周期是，可得
，所以
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
．
当
，即
时，
取得最大值1，所以函数的最大值是
，此时的集合为
．
18．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到
四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加
岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量
为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件
，那么
，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是
．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件
，那么
，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
．
（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“
”是指有两人同时参加岗位服务，
则
．
所以
，的分布列是
|
| 1 | 3 |
|
|
|
|
···································································································································· 12分
3．如图，在三棱锥
中，
，
，
，
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）求点
到平面
的距离．
解法一：
（Ⅰ）取
中点，连结
．
，
．
，
．
，
平面
．
平面，
．
（Ⅱ），
，
．
又，
．
又，即
，且
，
平面
．
取
中点．连结
．
，
．
是
在平面内的射影，
．
是二面角的平面角．
在
中，
，
，
，
．
二面角的大小为
．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
平面，
平面
平面．
过作
，垂足为
．
平面
平面
，
平面．
的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知，又，且
，
平面
．
平面，
．
在
中，
，
，
．
．
点到平面的距离为
．
解法二：
（Ⅰ），，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系
．
则
．
设
．
，
，
．
取中点，连结．
，
，
，
．
是二面角的平面角．
，
，
，
．
二面角的大小为
．
（Ⅲ）
，
在平面内的射影为正
的中心，且
的长为点到平面的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．
，
点的坐标为
．
．
点到平面的距离为．
20.（本小题满分12分）
在数列中，
，
，且
（
）．
（Ⅰ）设
（
），证明
是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设（
），得
，即
，．
又
，
，所以是首项为1，公比为
的等比数列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）
，
，
……
，（）．
将以上各式相加，得
（）．
所以当时，
上式对
显然成立．
21.在直角坐标系
中，点P到两点
，
的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线
与C交于A，B两点．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）若
，求k的值；
（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有>．
20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以
为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴
，
故曲线C的方程为
．···················································································· 3分
（Ⅱ）设
，其坐标满足
消去y并整理得
，
故
．······································································· 5分
若
，即
．
而
，
于是
，
化简得
，所以
．············································································ 8分
（Ⅲ）
．
因为A在第一象限，故
．由
知
，从而
．又
，
故
，
即在题设条件下，恒有
．
22.（本小题满分14分）
已知函数
（
），其中
．
（Ⅰ）当
时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在
处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，求
的取值范围．
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：
．
当时，
．
令
，解得
，
，
．
当变化时，
，的变化情况如下表：
|
|
| 0 |
|
|
| 2 |
|
|
| － | 0 | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
|
| ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以在
，
内是增函数，在
，
内是减函数．
（Ⅱ）解：
，显然不是方程
的根．
为使仅在处有极值，必须
成立，即有
．
解些不等式，得
．这时，
是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是
．
（Ⅲ）解：由条件，可知
，从而
恒成立．
当
时，
；当
时，
．
因此函数在上的最大值是
与
两者中的较大者．
为使对任意的，不等式
在上恒成立，当且仅当
，即
，在上恒成立．
所以
，因此满足条件的的取值范围是
．