高二理科数学第一学期抽考考试
高二（理科）数学试题
本试卷共150分，120分钟完成，答案写在答题卷上。
第Ⅰ卷
一、 选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1. 设函数
的定义域为集合M，集合N＝
，则
（ ）．
A．
B．N C．
D．M
2．若
（i为虚数单位），则使
的
值可能是（ ）
A．0 B．
C．
D．
3．已知
成等比数列，且曲线
的顶点是
，则
等于（ ）
A．3 B．
4. 设向量
与
的夹角为，=（2，1），3+=（5，4），则
= ( )
.
. 
.
.
5.函数
（其中
为自然对数的底数）的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，
那么几何体的侧面积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
7．奇函数
在
上是减函数，常数
满足
且
，则下列式子正确的是（ ）
D、
8．过双曲线一焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于A、B两点，若以AB为直径的
圆恰过双曲线的一个顶点，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
D．2
第Ⅱ卷
二、填空题(每小题5分，满分30分．)
9．统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样
本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为
及格，不低于80分为优秀，则及格人数是 ；
优秀率为 。
10．函数
的定义域是 。
11．计算定积分
。
12．下面框图表示的程序所输出的结果是 。
13. 已知
是定义在
上的函数，且对任意
，都有：
，又
则
。
14. 若实数
满足条件
，则目标函数
的最大值为 。
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．(本小题满分12分)
在△ABC中，
、
、
是角
所对的边，且满足
．
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)设
，求
的最小值.
16．（本小题满分14分）
一个盒子中装有标号为0，1，2，3，4，5的6张标签，随机地选取两张标签。
(Ⅰ) 求选出的两张标签的数字之和为5的概率；
(Ⅱ)如果用选出的两张标签的数字能组成一个两位数，求这个两位数能被5整除的概率。
17．（本小题满分14分）
已知：正方体
，
，
为棱
的中点．
(Ⅰ) 求证：
；
(Ⅱ) 求证：
平面
；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积．
18．（本小题满分14分）
设函数
（a、b、c、d∈R）满足：
都有
，且x=1时，取极小值
(Ⅰ)的解析式；
(Ⅱ)当
时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直；
19．（本小题满分14分）
|
轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点
，平行于
的直线
在
轴上的截距为
，交椭圆于A、B两个不同点。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求
的取值范围，
（Ⅲ）求证直线
、
与轴始终围成一个等腰三角形.
20． (本题满分12分)
已知数列
的前
项和
和通项
满足
。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
(Ⅱ) 求证：
；
（Ⅲ）设函数
，
，求
.
高二（理科）数学试题参考答案
一、 选择题(5’×8=40’)
DBBDB ABD
二、填空题（5’×6=30’）
9、800 20% 10、
11、
12、1320 13、 14、2
三、解答题：
15. 解：(Ⅰ)∵，∴
， ………………3分
又∵
，∴
． ……………………………………………5分
（Ⅱ）
……………………………………………6分
， ………………………8分
∵
，∴
． ……………10分
∴当
时，取得最小值为
． …………12分
16、解：（1）求两张标签数字之和的基本事件有：0-1.，0-2，0-3，0-4，0-5，1-2，1-3，1-4，1-5，2-3，2-4，2-5，3-4，3-5，4-5，共15种， （2分）
数字之和为5的基本事件有：0-5，1-4，2-3，共3种，（4分）
每个基本事件出现的概率相等．（5分）
所以： 
（6分）
（2）任取两张标签能组成的两位数共有：十位是1的有：5个；十位是2的有：5个
十位是3的有：5个；十位是4的有：5个；十位是5的有：5个；总共25个。（8分）
能被5整除的有：个位是0的5个，个位是5的有4个总共9个， （9分）
每一个两位数出现的概率相等。 （10分）
所以： 
（11分）
答：选出的两张标签的数字之和为5的概率是
，这个两位数能被5整除的概率是
。
（12分）
17．解：(Ⅰ)证明：连结
，则//
， …………1分
∵
是正方形，∴
．∵
面，∴
．
又
，∴
面
． ………………4分
∵
面，∴
，
∴
． …………………………………………5分
（Ⅱ）证明：作
的中点F，连结
．
∵
是
的中点，∴
，
∴四边形
是平行四边形，∴ 
． ………7分
∵
是的中点，∴
，
又
，∴
．
∴四边形
是平行四边形，
//
，
∵
，
，
∴平面
面． …………………………………9分
又
平面
，∴面． ………………10分
（3）
． ……………………………11分
． ……………………………14分
18、解：（I）因为，
成立，所以：
，
由：
，得 
，
由：
，得 
解之得：
从而，函数解析式为：
…………7分
（2）由于，
，设：任意两数 
是函数图像上两点的横坐标，则这
两点的切线的斜率分别是：
…………9分
又因为：
，所以，
，得：
………12分
知： 
………………………………………………………………………13分
故，当 是函数图像上任意两点的切线不可能垂直…………………14分
19、解：（1）设椭圆方程为
………………………1分
则
………………………………………………3分
∴椭圆方程为
…………………………………………………………4分
（2）∵直线l平行于，且在轴上的截距为，又
……………………………………………………5分
由
……………………………………6分
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可…………9分
设
……………………10分
则
由
……………………………………………………10分
而
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分
20．解：（Ⅰ）当
时
，
∴
，---------------------4分
由
得
∴数列是首项、公比为
的等比数列，∴
----6分
(Ⅱ)证法1： 由得
--------------------8分
，∴
∴-------------------------10分
〔证法2：由（Ⅰ）知
，
∴
--------------------------------8分
，∴--------------------9分
即--------------------------------10分〕
(Ⅲ) 
＝
＝
-------------------12分
∵
∴
＝
-----14分