高三数学第四轮模拟考试试卷
时间：120分钟 分值：160分 命题人：宋友强
一、 填空（每小题5分，共70分）
1. 设A，B是非空集合，定义
。已知A = {x y = }，B = { y y = 2 x，x > 0}，则
______
___。（教材改编）
2. 若
是纯虚数，则
的值为
.
3. 已知函数
是定义在R上的偶函数，其减区间为
，则不等式
的解集是__________
______。（教材改编）
4. 在
和
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为
。（苏教版必修5教材P49例2改编）
5. 一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形，边长如图所示，那么这个几何体的体积为 .
 |
6. 下面是一个算法的程序框图，当输入的值
为5时，则其输出的结果是 ．
7.曲线
在
处的切线方程为____________________。(改编题)
8. 下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：
图（2）比图（1）多出2个“树枝”；图（3）比图（2）多出5个“树枝”；
图（4）比图（3）多出10个“树枝”；
照此规律，图（7）比图（6）多出_______个“树枝”.
9.已知正四棱锥P—ABCD的高为4，侧棱长与底面所成的角为
，则该正四棱锥的侧面积是__________。（苏教版必修2教材P51例1改编）
10. 圆心为
且与直线
相切的圆的方程是___________．
11. 下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．
12. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是 ；优秀率为
。
 |
13. 若函数
在区间
上单调递减，则实数m的范围是________.
14. 给出下列四个命题：
①命题“
”的否定是“
”；
②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
③若
，则不等式
成立的概率是
；
④函数
上恒为正，则实数a的取值范围是
。
其中真命题的序号是 。（填上所有真命题的序号）
二、解答题（第15、16题，每题14分，第17、18题，每题15分，第19、20题，每题16分，）
15. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为矩形ABCD,E,F分别为AB、PC中点，且PD=PE,
PB=PC.
求证：（1）EF//平面PAD;（2）平面PDE⊥平面ABCD.
16. 在锐角三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
．
（1）若
，求A、B、C的大小；
（2）已知向量
的取值范围．
17. 某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某奥运品牌消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q (x)（百件）与销售价x（
）（元／件）之间的关系是：(1)当
时，月售量
(万件)是销售价格
(元)的二次函数，它们的关系如下表；(2)当
时，
.职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月10000元．
（Ⅰ）若当销售价x为50元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？（精确到年.已知
，
）
| x | 40 | 50 | 60 |
| q(x) | 60 | 40 | 20 |
18.已知椭圆
直线
过点A
和点B
，交椭圆于点M，直线MO交椭圆于N。
（1）
用
表示
的面积S;（2）若
，求S的最大值。
19. 对于函数，若存在
，使
成立，则称
为的不动点。如果函数
有且仅有两个不动点
、
，且
。
（1）试求函数的单调区间；
（2）已知各项不为零的数列
满足
，求证：
；
（3）设
，
为数列
的前
项和，求证：
。
20.已知
.
⑴ 求函数
在
上的最小值；
⑵ 对一切
，
恒成立，求实数a的取值范围；
⑶ 证明对一切，都有
成立.
高三数学答案卷
一、填空（每小题5分，共70分）
1. ；2. ；3. ；4. ；
5. ；6. ；7. ；8. ；
9. ；10. ；11. ；12. ；
13. ；14. .
二、解答题：
|
高三数学答案
一、填空：1. 
；2. 
；3. 
；4. 216； 5. 1；6. 2；
7. 
；8. 80；9. 
；10. 
；11. 
；
12. 800 20％；13. 
；14. ②④。
15.
16. 解：由已知
（1）由已知
（2）3m－2n2=9 m 2+4n2－12 m·n =13－12（sinAcos B +cosAsin B）
=13－12sin(A+B)=13－12sin（2 B +
）.
∵△ABC为锐角三角形，A－B=，∴C=π－A－B<
，A=+B<.
∴3m－2n2=∈（1，7）.∴3m－2n的取值范围是（1，
）
17. （Ⅰ）设该店的月利润为S(x)元，有职工m名．则
．
当时，设q (x)=
，由表得
，
解得q (x)=
.又由题设可知：
．
所以，
由已知，当
时，
，即
，
解得
．即此时该店有50名职工．
（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则月利润
．
当时，
，令
，解得
（负值舍去），
当
时，
，当
时
，
所以时，
单调递增；当时，单调递减.
因为
9186（元），
9232（元）
所以，当时，9232即为最大值.
当
时，
，
所以当
时，取最大值6000元．
综上，当
时，S有最大值9232元．
设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有
．
解得
．
所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元．
18.
19. （1）设
∴
∴
由
又∵
∴
∴
…… 3分
于是
由
得
或
； 由
得
或
故函数的单调递增区间为
和
，
单调减区间为
和
……4分
（2）由已知可得
， 当
时，
两式相减得
∴
或
当
时，
，若，则
这与
矛盾
∴
∴
……6分
于是，待证不等式即为
。
为此，我们考虑证明不等式
令
则
，
再令
，
由
知
∴当时，
单调递增 ∴
于是
即
①
令
，
由知
∴当时，
单调递增 ∴
于是
即
②
由①、②可知
……10分
所以，，即
……11分
（3）由（2）可知
则
在中令
，并将各式相加得
即
……14分
20. 解答：⑴ 
，当
，
，单调递减，当
，
，单调递增.
① 
，t无解；
② 
，即
时，
；
③ 
，即
时，在
上单调递增，
；
所以
.
⑵ 
，则
，设
，则
，
，
，
单调递增，
，
，单调递减，所以
，因为对一切，恒成立，所以
；
⑶ 问题等价于证明
，由⑴可知
的最小值是
，当且仅当
时取到，设
，则
，易得
，当且仅当
时取到，从而对一切，都有成立.