高三数学考前训练30题
1． 若曲线
在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为
．
【解析】设
，由
，得
，从而
．
点P的坐标为（1，0）．
2． 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为
、
、
，且
，则角B的大小是
．
【解析】由余弦定理，得 
．则
，即
．
所以B的大小是
或
．
3．已知单位正方体ABCD－A1B1C1D1对棱BB1，DD1上有两个动点E、F，BE＝D1F，设EF与面AB1所成角为α，与面BC1所成角为β，则α＋β的最大值为 ．
【解析】由对称性可知α＝β，又
，所以α≤45°，α＋β≤90°．
4． 设函数
，集合M＝
，P＝
，若M
P，则实数a的取值范围是
．
【解析】设函数
， 集合
．
若a>1时，M＝{x 1<x<a}；
若a<1时，M＝{x a<x<1}；
a＝1时，M＝
．
，∴
＝
>0．
∴ a>1时，P＝R，a<1时，P＝；已知
，所以 （1，＋∞）．
5． 已知命题P：．
，
不等式 
的解集为
．如果
和
有且仅有一个正确，则
的取值范围是
．
【解析】若和都正确，则由，有
．由，有的解集为．
用函数认识不等式，只需
的最小值
2
此时
．
若和都不正确，则由，有
．由，有
其交集为空集，此时不存在．
由题设知，
，用补集思想，所求的取值范围为
．
6． 己知：函数
满足
，又
．则函数的解析式为 ．
【解析】由已知
，当
时，原方程化为
．
由等式右边存在极限，
处处可导．
对原方程两边令
，得
．
令
，
（
为常数）．
又，得
．
7． 用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，
则它的体积的最大值与最小值之差为 ．
【解析】6．体积的最大值为16，体积最小值为10．
8． 已知
，
，对任意
，经过两点
的直线与一定圆相切，则圆方程为 ．
【解析】经过两点的直线方程为
．
，
．
9． 打开“几何画板”软件进行如下操作：
①用画图工具在工作区画一个大小适中的圆C；
②用取点工具分别在圆C上和圆C外各取一个点A、B；
③用构造菜单下对应命令作出线段AB的垂直平分线l；
④作出直线AC．
设直线AC与直线l相交于点P，当点A在圆C上运动时，点P的轨迹是____________．
【解析】双曲线．由图可得，PC—PB＝PC—PA＝AC，或PB—PC＝PA—PC＝AC，
从而点P到定点B、C的距离之差的绝对值是定长AC，由双曲线定义即可得．
10．复数
，满足
，则
与
的大小关系是_________．
【解析】因为，所以
，
．
因为
，所以
，所以
．
11． 已知
的外接圆的圆心
，
，则
的大小关系为______．
【解析】设的外接圆的半径为
，
，
，
．
，
．
，
．
12． 已知
，则
的值______
【解析】 ∵
，∴
，∴
，
．
∴＝
＝
．
13． 当x＝2时，下面这段程序输出的结果是___________．
 |
End Whlie
答案：13．
14． 极坐标系中，直线
与曲线
相交所得弦长为
．
【解析】直线
，为过点
且倾斜角为
的直线，而曲线
表示的是一个椭圆；建立一个以椭圆的中心为原点的直角坐标系，则椭圆的标准方程为
，直线的参数方程为
，代入标准方程，得
，弦长为
．
15． 已知实数
满足
，
，则的取值范围是 ．
【解析】由柯西不等式，得
，
即
．由条件，得
．
解得
，当且仅当
时等号成立．
代入
时，
；
时，
．
所以，的取值范围是
．
16． f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf‘（x）－f（x）>0,对任意正数a、b，若a＜b，则
的大小关系为
．
【解析】设
，则
，故为增函数，由a＜b，
有
．
二、解答题
17． 在数列{an}中，已知，a1＝2，an＋1＋ an＋1 an－2 an．对于任意正整数
，
（Ⅰ）求数列{an}的通项an的表达式；
（Ⅱ）若 
（
为常数，且为整数），求的最小值．
解：（Ⅰ）由题意，对于n∈N*，
，且
，即
．
由 
，得 
．则数列
是首项为
，公比为
的等比数列．于是
， 即 
．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得
． 当
时，因为
，
所以
．
又
，故M的最小值为3．
18． 设顶点为
的抛物线
交
轴正半轴于
、
两点，交
轴正半轴于 点，圆
（圆心为）过、、三点，恰好与轴相切． 求证：
．
解：设、、三点的坐标为
，
，
，圆的圆心坐标为
，
由韦达定理，知
． 原点到圆D的切线为
，所以
，即
． 故
．
点坐标为 
． 由（1），
．
设
交轴于
，要证
与圆相切，即证 
．
如果
，那么
与
相似，
．
所以只需证 ．而 
，
，
所以 等价于 
，即只需要证
．
由
，
，所以与圆相切．
19． 已知函数
的图象x轴的交点至少有一个在原点右侧．
（1）求实数m的取值范围；
（2）令t＝－m＋2，求
的值（其中[t]表示不大于t的最大整数）；
（3）对（2）中的t，求函数
的值域．
【解析】若m＝0 则
符合题意．
若m≠0 ，①m<0时，∵
两根异号，∴必有一个负根．
②m>0时，由
时，方程有两正根．综上得
．
（2）∵t＝－m＋2 ，∴
．当t＝1时，
，当t>1时，
．
（3）当t＝1时，
；当t>1时，＝0，设[t]＝n，且t＝[t]＋a，则
．
于是
．由函数
时是增函数，
及
．
设
递减，∴
．
∴
．
递减，∴
．
于是t>1时，
的值域为
．
综上的值域为
．
20． 已知定理：“若
为常数，
满足
，则函数
的图象关于点
中心对称”．设函数
，定义域为A．
（1）试证明
的图象关于点
成中心对称；
（2）当
时，求证：
；
（3）对于给定的
，设计构造过程：
，…，
．如果
，构造过程将继续下去；如果
，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．
【解析】（1）∵
，∴
．
由已知定理，得的图象关于点成中心对称．
（2）先证明
在
上是增函数，只要证明在
上是增函数．
设
，则
，
∴在上是增函数．
再由在上是增函数，得
当时，
，即．
（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴
对任意
恒成立．
∴方程
无解，即方程
无解或有唯一解
．
∴
或
由此得到
．
21． 设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）＝
的图象上任意两点，且
，已知点M的横坐标为
．
（1）求证：M点的纵坐标为定值；
（2）若Sn＝f（
∈N*，且n≥2，求Sn．
（3）已知an＝
其中n∈N*．
Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ（Sn＋1＋1）对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．
【解析】（1）证明：∵
∴M是AB的中点．设M点的坐标为（x，y），
由（x1＋x2）＝x＝，得x1＋x2＝1，则x1＝1－x2或x2＝1－x1．
而y＝（y1＋y2）＝ ［f（x1）＋f（x2）］ ＝（＋log2
＝（1＋log2
＝（1＋log2
＝（1＋log2
∴M点的纵坐标为定值．
（2）由（1），知x1＋x2＝1，f（x1）＋f（x2）＝y1＋y2＝1，
Sn＝f（
Sn＝f（
，
两式相加，得
2Sn＝［f（
）＋［f（
）＋…＋［f（
）
＝
，∴Sn＝
（n≥2，n∈N*）．
（3）当n≥2时，an＝
Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝
［（
]
＝（
由Tn＜λ（Sn＋1＋1），得
＜λ·
∴λ＞
∵n＋
≥4，当且仅当n＝2时等号成立，∴
因此λ＞，即λ的取值范围是（
＋∞）．
22． 有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，2张标有数字1，3张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，1张标有数字1，2张标有数字2．现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任取2张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），共取3张卡片．
（Ⅰ）求取出的3张卡片都标有数字0的概率；
（Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率；
（Ⅲ）求取出的3张卡片数字之积是0的概率．
【解析】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；
（Ⅲ）
．
答：（略）．
23． 设函数的定义域为R，当x＜0时＞1，且对任意的实数x，y∈R，有
．
（Ⅰ）求
，判断并证明函数的单调性；
（Ⅱ）数列
满足
，且
．
①求通项公式．
②当
时，不等式
对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
【解析】（Ⅰ）
时，f（x）＞1．
令x＝－1，y＝0，则f（－1）＝f（－1）f（0）．∵f（－1）＞1 ，∴f（0）＝1．
若x＞0，则f（x－x）＝f（0）＝f（x）f（－x）．
故
，故x∈R， f（x）＞0．
任取x1＜x2，
，
，故f（x）在R上减函数．
（Ⅱ）①
．由f（x）单调性，an＋1＝an＋2 ，
故{an}等差数列，
．
②
．
∴
是递增数列．
当n≥2时，
，
，
即
．
而a＞1，∴x＞1，故x的取值范围（1，＋∞）．
24． 已知数列满足 
，令
，求证
（1）数列
是等比数列；
（2）
．
解析：（1）
．
∴
＝
，
∵
，∴ 
．
∴数列 是等比数列．
（2）∵ 数列 是等比数列，∴
．
∵ 
，∴
，∴
．
∵
＝
＝
，
∴
．
25． 已知圆O的方程为
过直线
上的任意一点P作圆O的切线PA、PB．四边形OABP的面积取得最小时的点P的坐标（m，n）设
．
（1）求证：当
恒成立；
（2）讨论关于的方程：
根的个数．
解析：（1）
＝
．
当
取得最小值时
取得最小，过点O 作
垂直于直线
，交点为
，
易得
，∴
．∴
．
∴
，∴
在
是单调增函数，
∴
对于
恒成立．
（2）方程，∴
．
∵ 
，∴ 方程为
．令
，
，当
上为增函数；
上为减函数，
当
时，
，
∴
、
在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当
时，方程无解．
②当
时，方程有一个根．
③当
时，方程有两个根．
26． 解不等式
．
解：（Ⅰ）当x<－2时，得－（2x－1）－（x＋2）<4，得
，此不等式无解．
（Ⅱ）当－2
x<
，得－（2x－1）＋（x＋2）<4，得x>－1，
．
（Ⅲ）当x
时，得（2x－1）＋（x＋2）<4，得
．
综上，原不等式的解集为（－1，1）．
27． 已知函数
在点P
处的切线方程为
，又
．
（1）求函数
的解析式；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）若函数
在区间
上的值域为
，求
应满足的条件．
解：（1）由题设，知
，
，
，
解得
，所以
．
（2）由
，得
．由
，得
．
的单调增区间是
，单调减区间为
．
当
时，取得极大值0，当
时，取得极小值
．
（3）由（2）知，
在
上是增函数，在
上是减函数．因为
，
所以
，所以
．
此时
，由
，得
．
所以
．
综上，
．
28． 结论：圆C：
与x轴相交于M、N两点，设点P是圆C上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值．
（1）写出以上结论在椭圆
中的推广，并加以证明；
（2）将（1）的结论类比到双曲线
，并加以证明．
解：（1）设椭圆与x轴交于M、N两点，设点P是椭圆上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值．
证明：由题意
，设
，
则
，所以
，所以
．
是定值．
（2）设双曲线与x轴交于M、N两点，设点P是双曲线上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值．
证明：由题意，设，
则
，所以
，所以
．
是定值．
29． 已知函数的定义域为R，对任意实数
满足
，且
．
（1）求
；
（2）试用
表示
；
（3）用，的表达式来表示
．
答案：（1）利用赋值法易得
．
（2）令
，由条件，得
，所以
．
（3）设
，由条件，得
，
所以
．
30． 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金
解：设保险公司要求赔偿顾客交x元保险金，若以
表示公司每年的收益额，则的分布列为
|
|
|
|
| p | 1－p | p |
公司每年收益的期望值为：E＝x（1－p）＋（x－p）p＝x－ap，
要使公司收益的期望值等于a的10%，只需E＝0.1a，即x－ap＝0.1a，x＝（0.1＋p）a，
应交的保险金为（0.1＋p）a．