高三理科数学数学摸底试题
理科
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
参考公式
如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发
生k次的概率
球的表面积公式 
（其中R表示球的半径）
球的体积公式 
（其中R表示球的半径）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案填在题后的括号内.）
1、复数
满足
，则=（ ）
A．
B．
C．
D．
2、函数
是（ ）
A．周期为
的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为
的奇函数
D．周期为的偶函数
3、
（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
4、等差数列
的公差为2，若
、
、
成等比数列，则
=（ ）
A．－6 B．－8 C．8 D．6
5、设函数f(x)＝ ,则
的值为
A、a B、b C、min{a，b}．D、max{a，b}
6、已知双曲线
两条准线间的距离为
，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B． C．
D．
7、已知
是两条不重合的直线，
是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若
则
B. 若
，
，则
C. 若
，
则
D. 若，
则
8、口袋中放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列
，
，如果
为数列的前
项和，那么
的概率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
9．已知
是定义在实数集R上的函数，它的反函数为
，若
|
互为反函数，且
，则
的值为 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
10、定义行列式运算：
将函数
的图象向左平移
个单位
，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
11、等差数列的公差d不为零，Sn是其前n项和，则下列四个命题中的假命题是（ ）
A．若d<0，且S3=S8，则{Sn}中，S5和S6都是{Sn}中的最大项
B．给定n，对于一定
，都有
C．若d>0，则{Sn}中一定有最小的项
D．存在
，使
同号
12、抛物线
的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒
弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。）
13．在约束条件
下，目标函数
=
的最大值为
.
14. 若体积为
的球面上三点
满足
，
，则球心到平面
的距离为
.
15．已知
展开式中第4项为常数项，则展开式的各项的系数和为 .
|
=（－1，2）的直线（点法式）方程为
类比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A（2，1，3），且法向量为=（－1，2，1）的平面（点法式）方程为
.（请写出化简后的结果）
三、解答题：（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（本小题满分12分）
如图,在
中,
.
(Ⅰ)求
;
(Ⅱ) 记
的中点为
,求中线
的长。
18、（本小题满分12分）
正方体
中，
分别为棱
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）设二面角
为
，求
的值。
19、（本小题满分12分）
某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10000平方米，该球场每座的建筑面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关，当该球场建n个时，每平方米的平均建筑费用用
表示，且
(其中
)，又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应建几个球场?
20、（本小题满分12分）
设
，函数
（1）讨论的单调性；
(2)求在区间
上的最小值。
21、（本小题满分12分）
如图，已知直线
与抛物线
相切于点P(2，1)，且与
轴交于点
，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.
（I）若动点
满足
，
求动点轨迹
的方程；
（II）若过点B的直线
（斜率不等于零）与（I）
中的轨迹交于不同的两点E、F（E在B、F之间），
试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围。
22．（本小题满分14分）
已知数列
（I）若a1=2，证明
是等比数列；
（II）在（I）的条件下，求的通项公式；
（III）若
，证明数列{
}的前n项和Sn满足Sn<1.
参考答案
理科
一选择题、1-5：BBAAD 6-10：DCBCC １１－１２：ＤＣ
二填空题、１３、２ １４、
１５、
１６、
三解答题、
17.解: (Ⅰ)由
, 
是三角形内角，得
………2分
∴ 
……………5分
………………………………6分
(Ⅱ) 在
中,由正弦定理，
，
…9分
, ,
由余弦定理得:
=
………12分
18、解法一：（1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则P（0，0，1）、M（2，1，0）、B（2，2，0）、B1（2，2，2）.
∵
·
=（2，2，－1）·（0，1，2）=0，
∴MB1⊥PB，同理，知NB1⊥PB.
∵MB1∩NB1=B1，∴PB⊥平面MNB1.
（2）∵PB⊥平面MNB1，BA⊥平面B1BN，
∴=（2，2，－1）与
=（0，2，0）所夹的角即为α，cosα=
=
.
解法二：（１）、如图：连结PB, DB, AC, MN
过点P作垂直CC垂足于Q，可知PD垂直平面
，连结BQ，
则
（由三垂线定理） ４分
６分
（２）、连结MR，可知
８分
设正方体的棱长为２，依题可知
10分
12分
19．
|
＝
由题意知f(5)＝400, f(x)＝f(5)(1+
)＝400(1+)
从而每平方米的综合费用为y=f(x)+＝20（x+
）+300≥20.2
+300＝620（元），
当且仅当x=8时等号成立
故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省.
20.解：函数的定义域为
，
。（） （2分）
由
； （3分）
由
； （4分）
故在
上单调递增，在
上单调递减。（5分）
（2）①当
，即
时，由（Ⅰ）知在上单调递增，
所以
；（6分）
②当
时，由（Ⅰ）知在上单调递减，所以
（7分）
③当
时，需比较
与
的大小。
因为－－
所以，若
，则
，此时；（１０分）
若
，则
，此时。（11分）
综上，当
时；，当
时（12分）
21.（本小题满分12分）
解：（I）由
， 
∴直线l的斜率为
， ………………………………………1分
故l的方程为
，
∴点A坐标为（1，0） ………………………………… 2分
设
则
，
由
得
整理，得
……………5分
（II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k(x－2)(k≠0)①
|
，整理，得
，
由△>0得0<k2<. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)
则
②………………………………7分
令
，
由此可得
由②知
.∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3－2
，1）.…12分
解法2：
，
切线ＰＡ的方程为
，令y=0得x=1 
|
设Ｍ（x,y）,则
，又
由
化简得，
，
故动点Ｍ轨迹方程为。
评注：上述两种方法是处理切线问题的基本方法应对此加以理解。
解法3：设
则
①
因为
所以可设直线的方程为
。
由
②
③
由
得
又
解得
的取值范围
。
解法4：设 则
因为所以可设直线的方程为
由
由得
又
，解得
的取值范围。
解法5：设 ，
则
且
， 又
由③
②
结合①②化简得
⑤ 由②⑤得
的取值范围。
解法6：
当
趋向于
时，
：
比趋向于１
当趋向于0时，：比趋向于
的取值范围。
评点：请同学们细细品味各种处理问题的方式，学会理性思维合理运算。
22．（本小题满分14分）
解（I）
，
由已知
，
是首项为
，公比为的等比数列.…………………………4分
（II）由（I）知
，
……………………………………………………6分
（III）首先证明
①当n=1时，
；………………………………7分
②假设
…………………………………………………8分
当
，
，
=
，…………………………………………………………12分
，
即
，
…………………………………………14分