高三理科数学模拟考试试题
数学试卷(理科)
时 量:120分钟 满 分: 150分
命题人：张立军 审题人： 李生根
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知命题
：
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
2．设
是非零向量，若函数
的图像是一条直线，则必有（
）
A．
B． 
C． 
D．
3． 设 
表示等差数列
的前
项和，已知
，那么
（ ）
A．
B． 
C．
D．
4．直线
：
与圆C：
有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ）
A．（一∞，一1） B．（一1，1）
C．（一1，+∞） D．（一∞，一1）
（一1，+∞）
5．如图，在正四面体S—ABC中，E为SA的中点，F为DABC
的中心，则异面直线EF与AB所成的角是 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
|
且
则
之间的大小关系是 （ ）
A．
B．
C． 
D．
7．设F1、F2为椭圆
的左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，
的值等于 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
8．函数
的定义域为（0，+
）且
为正数，则函数
（ ）
A．存在极大值 B．存在极小值 C．是增函数 D．是减函数
9．正方体ABCD—A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取两点连成直线，在这些直线中任取一条，它与BD1 垂直的概率为（ ）
A． 
B．
C．
D．
10．设
表示
中最小的一个．给出下列命题：
①
； ②设a、b∈R+，有
≤
；
③设a、b∈R，
，
，有
．
其中所有正确命题的序号有（
）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
11．设
中所有项的系数和为An，则
的值为
12．已知向量
，且
与
的夹角为钝角，则
的取值范围是
．
13．对于
，不等式
恒成立，则的取值范围是
。
14．抛物线x2＝4y的准线l与y轴交于P点，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转，则经过_______秒，l恰好与抛物线第一次相切.
15．给出下列命题：
①若
成等比数列；
②已知函数
的交点的横坐标为
；
③函数
至多有一个交点；
④函数
其中正确命题的序号是 。（把你认为正确命题的序号都填上）。
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16．（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，S是该三角形的面积，且
|
（1）求角A的大小；
（2）若角A为锐角，
，求边BC上的中线AD的长.
17．（本小题满分12分）
在北京友好运动会中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为
，甲胜丙的概率为
，乙胜丙的概率为．
（Ⅰ）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；
（Ⅱ）求三人得分相同的概率；
（Ⅲ）设在该小组比赛中甲得分数为
，求Eξ．
18．（本小题满分12分）
已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC = AD
= CD = DE = 2，
F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小；
（Ⅲ）求点A到平面BCD的距离的取值范围．
19．（13分）某中学有教职员工500人，为了开展迎2008奥运全民健身活动，增强教职员工体质，学校工会鼓励大家积极参加晨练与晚练，每天清晨与晚上定时开放运动场、健身房和乒乓球室，约有30%的教职员工坚持每天锻炼. 据调查统计，每次去户外锻炼的人有10%下次去室内锻炼，而在室内锻炼的人有20%下次去户外锻炼. 请问，随着时间的推移，去户外锻炼的人数能否趋于稳定？稳定在多少人左右？
20．如图，设
是椭圆
的左焦点，直线为对应的准线，直线与
轴交于
点，
为椭圆的长轴，已知
，且
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：对于任意的割线
，恒有
；
（3）求三角形△ABF面积的最大值．
21、（本小题满分13分）
已知
，点
.
（Ⅰ）若
,求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数的导函数
满足：当
时，有
恒成立，求函数 的解析表达式；
（Ⅲ）若
，函数在
和
处取得极值，且
，证明：
与
不可能垂直。
高三第一次模拟考试
参 考 答 案
1~10 CABDC， BCCDD，
11．
， 12。
13，
， 14，3
15，③④
16（1）原式
…………………………2分
…………………………4分
因
…………………………………………………… 6分
（2）因A为锐角，则
而面积
…………………8分
解法一：又由余弦定理
，………………10分
又
，
即
……………………………………………………………………12分
解法二：如图，作CE平行于AB，并延长AD交CE地E，
在△ACE中，
又
即
这样
…………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设甲获小组第一且丙获小组第二为事件A,
(A)=
；…………………………………………………………4分
（Ⅱ）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B,
即每人胜一场输一场,有以下两种情形：
甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，概率为
=
,…………………………6分
甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，概率为
=
,………………………………7分
三人得分相同的概率为
=+=
=
．………………………………8分（Ⅲ）可能的取值为0、1、2,
P（=0）=
,P（=1）=
+
=
,
P（=2）=
,………………………………………………………………10分
|
| 0 | 1 | 2 |
| P |
|
|
|
E=0
+1+2
=
．………………………………………………………12分
18.（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，∴DE⊥平面ACD，∵AF
平面ACD，
∴DE⊥AF．又∵AC=AD=CD，F为CD中点，∴AF⊥CD．
∵DEÌ平面CDE，CDÌ平面CDE，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE．
（Ⅱ）解法一：∵AB∥DE，AB(/平面CDE，DEÌ平面CDE，∴AB∥平面CDE，设平面ABC∩平面CDE＝l，则l∥AB．即平面ABC与平面CDE所成的二面角的棱为直线l．
∵AB^平面ADC，∴l^平面ADC．∴l^AC，l^DC．∴ÐACD为平面ABC与平面CDE所成二面角的平面角．∵AC＝AD＝CD，∴ÐACD＝60°，∴平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小为60°．
（Ⅱ）解法二：如图，以F为原点，过F平行于DE的直线为x轴，FC，FA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵AC＝2，∴A(0，0，)，设AB＝x，B(x，0，)，C(0，1，0)
((AB＝(x，0，0)，((AC＝(0，1，－)，设平面ABC的一个法向量为n＝(a，b，c)，
则由((AB×n＝0，((AC×n＝0，得a＝0，b＝c，不妨取c＝1，则n＝(0，，1)．
∵AF^平面CDE，∴平面CDE的一个法向量为((FA＝(0，0，)．
cos＜n，((FA＞＝ eq \o(\s\up8(((FA＝，＜n，((FA＞＝60°．
∴平面ABC与平面CDE所成的小于90°的二面角的大小为60°．
（Ⅲ）解法一：设AB＝x，则x＞0．∵AB^平面ACD，∴AB^CD．又∵AF^CD，ABÌ平面ABF，AFÌ平面ABF，AB∩AF＝A，∴CD^平面ABF．∵CDÌ平面BCD，∴平面ABF^平面BCD．连BF，过A作AH^BF，垂足为H，则AH^平面BCD．线段AH的长即为点A到平面BCD的距离．在Rt△AFB中，AB＝x，AF＝CD＝，∴BF＝，AH＝＝∈(0，)．
（Ⅲ）解法二：设AB＝x，∵AC＝CD＝DA＝2，AB^平面ACD．∴VB－ADC＝×S△ADC×BA＝××22×x＝x．
∵BC＝BD＝，CD＝2，∴S△BCD＝×2×＝，设点A到平面BCD的距离为d，则VA－BCD＝×S△BCD×d＝．∵VB－ADC＝VA－BCD．∴x＝，解得d＝
∈(0，)．
19．解：设第n次去户外锻炼的人数为
，去室内锻炼的人为
，则
+=500×30%=150
∴随着时间的推移，去户外锻炼的人数将稳定在100人左右.
20．解（1）∵，∴
，
又∵，∴
，
∴
，∴椭圆的标准方程为
． ………（3分）
（2）当
的斜率为0时，显然=0，满足题意，
当的斜率不为0时，设方程为
，
代入椭圆方程整理得：
．
，
，
．
则
，
而
∴
，从而．
综合可知：对于任意的割线，恒有．
………（8分）
（3）
，
即：
，
当且仅当
，即
（此时适合于
的条件）取到等号．
∴三角形△ABF面积的最大值是
．
………（13分）
21解：(Ⅰ)
, 
令
得
，解得
故的增区间
和
（Ⅱ）
(x)=
当x∈[-1，1]时，恒有(x)≤. …4分故有
≤(1)≤，≤(-1)≤，
及≤(0)≤,……………5分
即
………………………6分
①+②，得
≤
≤，………8分 又由③，得=，将上式代回①和②，得
故
. ……8分
（Ⅲ）假设⊥，即
=
10分
故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1 [st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1,……………10分
由s，t为(x)=0的两根可得，s+t=
(a+b), st=
ab, (0<a<b)
从而有ab(a-b)2=9.………12分
这样
即 
≥2
，这与<2矛盾. ………………………12分
故与不可能垂直. ………………………13分