高三理科数学模拟试卷
理 科
总分：150分 时量：120分钟 供题人：武汉中学高三数学组
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1．复数
的共轭复数
是
（ ）
A.
B.
C.
D.
2．在各项都为正数的等比数列
中，
，前三项的和为21，则
（ ）
A．33 B．
3．某一计算机网络有
个终端，每个终端在一天中没有使用的概率为
，则这个网络中一天平均使用的终端个数是
（ ）
A .
B.
C.
D.
4．已知m、n是不重合的直线,α、β是不重合的平面,有下列命题,
①若m
α, , n∥α,则m∥n， ②若α∩β= n ,m∥n, 则m∥α,且 m∥β
③若m∥α,m∥β,则α∥β， ④若m⊥α, m⊥β, 则α∥β
其中正确的命题个数是 （ ）
A .1
B
5．湖南经视台某采访小组共有8名记者，现从8名记者中按性别比例选取4名记者分别派往湘潭、株洲、长沙、常德四个地方执行采访任务，已知共有960种不同的安排方式。则其中有男记者 ( )
A.2名 B.4名 C.6名 D.2名或6名
6．定义行列式运算：
将函数
的图象向左平移
个单位
，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 （ ）
A. 
B.
C. 
D. 
7．设函数
，若
，则
的取值范围是（ ）
A.
B. 
C. 
D. 
8．设
是
内任一点，且
设
的面积分别为
，且
，则在平面直角中坐标系中，以
为坐标的点
的轨迹图形是 （ ）
 | |||||||
 |  | ||||||
 | |||||||
9．对于集合P、Q, 定义P-Q=
，
，设
A＝
，B=
,则
等于
（ ）
A.
B.
C.
D.
10．椭圆
的左准线为
，左、右焦点分别为
，抛物线
的准线也为，焦点为
，记
与的一个交点为
，则
( )
A.
B
二、填空题:本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上.
11．如果(x－
)8的展开式的常数项等于1120，那么实数a的值为____________。
12．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 万只.
| 月份 | 养鸡场（个数） |
| 9 | 20 |
| 10 | 50 |
| 11 | 100 |
13．函数
在
上的最大值为
14． 设
，
求
.
15．如图，椭圆
的长轴为A
的体积
＝ 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知
是的两个内角，
，（其中
是互相垂直的单位向量），若
（1）试问
是否为定值，若是定值，请求出,否则请说明理由;
（2）求
的最大值，并判断此时三角形的形状.
17．（本小题满分12分）
移动公司进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为
，中奖后移动公司返还顾客现金1000元，小李购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是小李补偿50元给同事购买一台价格600元的小灵通（可以得到三张奖券），小李抽奖后实际支出为
（元）.
（1）求的分布列；
（2）试说明小李出资50元增加1张奖券是否划算。
18．（本小题满分12分）
如图，
是正四棱锥，
是正方体，其中
，
（1） 求证
；
（2） 求平面
与平面
所成的锐二面
角
的大小；
（3）求
到平面的距离.
19．（本小题满分12分）
甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。
（1）试解释
的实际意义；
（2）设
，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？
20．（本小题满分13分）
已知
，及直线
.
（1）求与
都外切的动圆圆心的轨迹方程.并证明当
时，点到圆的圆心
的距离与到定直线
的距离之比为一个常数；
（2） 延长
与动点的轨迹交于另一点
，求
的最小值；
（3）若存在某一位置，使得
（仍为过的弦）的中点
在直线上的射影
满足
，求
的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知曲线C：xy=1，过C上一点
作一斜率为
的直线交曲线C于另一点
，点列
的横坐标构成数列{
}，其中
。
（1）求与
的关系式；
（2）求证：{
}是等比数列；
（Ⅲ）求证：
。
理科数学答案
一、DCDAD CBACB
二、11、
, 12、90, 13、
, 14、1,
15、
（其中第一问3分，第二问2分）
三、16、①由
 |
②
 |
17、（1）
的所有可能取值为2450,1450,450，－550 ,
，分布列为
|
| 2450 | 1450 | 450 | －550 |
| P |
|
|
|
|
…（6分）
（2）
＝1850（元）） …（9分）
设小李不出资50元增加1张奖券消费的实际支出为
（元）
则
∴
∴
故小王出资50元增加1张奖券划算。…（12分）
18、以
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系.
（1）设
是
的中点，
是正四凌锥，
,又
即
;。。。。。。。。4分
（2）设平面的法向量是
,
,
,取
得
,又因平面
的
法向量是
;
。。。。。。8分
（3）
到平面的距离
。。。。。12分
19、解：（1）f（0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g（0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费。………………………………4分
（2）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当
成立，双方均无失败的风险……………………8分
由（1）（2）得
答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元。
……………………………………………………………………………………12元
20、（1）由题意，
。。。。。。3分
为右准线，为右焦点，
到的距离与到直线
的距离之比为常数
。。。。。。 5分
（2）
（与轴垂直时取最小值）。。。。。。。。。。。9分
（3）由
，则
又当
不存在时，即与轴垂直，此时
，
由此可知：
。。。。。。。。。。13分
21．解：（1）过C：
上一点作斜率为
的直线交C于另一点
，
则
，
于是有：
。 …………….5分
（2）记
，则
，
因为
，
因此数列{}是等比数列。 ……………10分
（3）由（2）可知：
，
。
当n为偶数时有：
=
，
于是
①在n为偶数时有：
。
②在n为奇数时，前n-1项为偶数项，于是有：
。
综合①②可知原不等式得证。 …………..14分