高三第一轮复习训练题
数学(二十二) (理科
综合卷2)
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1、已知集合
，
，若
，则
等于
A、1 B、2 C、1或
D、1或2
2、设复数
在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设函数
内连续，则实数a值等于
A．1 B．
C．
D．
4．已知
表示平面，m，n表示直线，则m//
的一个充分而不必要条件是
A．
B．
C．
D．
5．已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有
A．< B．≤ C．> D．≥
6．若函数
内为增函数，则实数a的取值范围
A．
B．
C．
D．
7．设随机变量
服从正态分布
，若
，则
A、
B、
C、
D、
8．已知K为实数，若双曲线
的焦距与K的取值无关，则k的取值范围为
A．
B．
C．
D．
9．已知
A．都不大于2； B．都不小于2； C．至少有一个不大于2； D．至少有一个不小于2；
10．过△ABC的重心G作一直线分别交AB、AC于D、E，若
，则
的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
11．设有两个独立事件A和B同时不发生的概率是P，A发生B不发生与A不发生B以生的概率相同，YC则事件A发生的概率为
A．2P
B．
C．
D．
12．已知方程
的取值范围
A．
B．
C．
D．
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在试题的横线上）
13．若二项式(x
)
展开式中的第5项是5，则x等于_________
14．不等式
恒成立，则x的取值范围是
15．点P(3，1)在椭圆
的
光线经直线y=－2反射后通过椭圆的右焦点，则这个椭椭圆的离心率为
16．关于函数
，有下列命题
①其最小正周期为
； ②其图像由
个单位而得到；
③其表达式写成
④在
为单调递增函数；
则其中真命题为
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）已知函数g（x）=
sin（2x+
）的图象按向量m=（－
）平移得到函数
|
）+b的图象.
（1）求实数a、b的值；
（2）设函数
（x）=g（x）－
，求函数（x）的单调增区间。
18．（本题满分12分）某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.(例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为
，路段CD发生堵车事件的概率为
)
(1)请你为其选择一条由A到B的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线)，使得途中发生堵车事件的概率最小；
(2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ.
19．（本题满分12分）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为a，若经过AB1且与BC1平行的平面交上底面于DB1.
(1)试确定点D的位置，并证明你的结论；
(2)求二面角A1－AB1－D的大小.
20．（本题满分12分）已知数列
，前n项的和为Sn，且4tSn+1
其中
（1）证明数列
为等比数列；
（2）判定的单调性，并证明；
21．（本题满分12分）. 定义函数
（1）求证
（2）设
22．（本题满分14分）直线AB过抛物线x2=2py（p>0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点.
（1）求
的取值范围；
（2）若p是不为1的正整数，当
，△ABN的面积的取值范围为［5
，20］时，求该抛物线的方程
高三第一轮复习训练题
数学(二十二) (理科综合卷2)参考答案
一 选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | C | A | D | B | A | B | A | D | C | C | A |
二 填空题：
13．3 14．
15．
16． ①③④
三 解答题：
17．（1）依题意按向量m平移g（x）得
f（x）－=sin［2（x+
）+］…………………………………… 2分
得f（x）=－sin（2x+
）+…………………………………………… 4分
又f（x）=acos
（x+）+b=－
sin（2x+）++b
比较得a=1，b=0………………………………………………………………… 6分
（2）（x）=g（x）－
f（x）=sin（2x+）－
cos（2x+）－
=sin（2x+）－……………………………………………………… 9分
2kπ－
≤2x+≤2kπ+（k∈Z） 
kπ－
≤x≤kπ+
（k∈Z）
∴（x）的单调增区间为［kπ－，kπ+］（k∈Z）……………… 12分
18．(1)记路段MN发生堵车事件为P（MN.）
因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为
1-P(
)=1-P(
)·P(
)·P(
)
=1-[1-P(AC)][1-P(CD)][1-P(DB)]=1-
；…………………………………3分
同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1-P(
)=(小于
)……4分
路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1-P(
)=
(大于) ……………5分
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.
因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小………………………6分
(2)路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3. …………………………7分
P(ξ=0)=P()=. …………………………………8分
P(ξ=1)=P(AC·
)+P(·CF·
)+P(
)
=
…………………………………9分
P(ξ=2)=P(AC·CF·)+P(AC·
·FB)+P(·CF·FB)
………………………………… 10分)
P(ξ=3)=P(AC·CF·FB)=
，
∴Eξ=0×+1×
答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为
. …………………………………12分
19．解： (1)D为A1C1的中点. …………………………………2分
连结A1B与AB1交于E，
则E为A1B的中点，DE为平面AB1D与平面A1BC1的交线，
∵BC1∥平面AB1D
∴BC1∥DE，∴D为A1C1的中点. ………………………6分
(2) 解法一：过D作DF⊥A1B1于F，
由正三棱柱的性质，AA1⊥DF，∴DF⊥平面AB1，
连结EF、DE，在正三角形A1B1C1中，
∵D是A1C1的中点，∴B1D＝A1B1＝a，…………………7分
又在直角三角形AA1D中，
∵AD＝＝a，∴AD＝B1D. …………………………………8分
∴DE⊥AB1，∴可得EF⊥AB1，
则∠DEF为二面角A1－AB1－D的平面角. …………………………………10分
可求得DF＝a，
∵△B1FE∽△B1AA1，
得EF＝a，∴∠DEF＝，即为所求. …………………………………12分
(2)解法(二)(空间向量法)
建立如图所示空间直角坐标系，则
A(0，－a,0)、B1(0，a，a)、C1(－a,0，a)、
A1(0，－a，a)、D(－a，－a，a).
∴＝(0，a，a)，＝(－a，－a,0). ……8分
设
＝(x，y，z)是平面AB1D的一个法向量，
则可得
，即
.
∴＝(－，1，－). …………………………10分
又平面AB1的一个法向量
＝＝(－a,0,0)，设n1与n2的夹角是θ，
则 cosθ＝
＝.
又可知二面角A1－AB1－D是锐角，
∴二面角A1－AB1－D的大小是. …………………………………12分
20．解（1）证明：∵ 
①
当n=1时，4t（a1+a2）－（3t+8）a1=8t 而a1=2 
……………………… 2分
又∵
②（n≥2）
由①②得
即
………………… 4分
而
∴{an}是等比数列……………………………………… 6分
（2）∵an=2（
…………………… 8分
∵t＜－3 ∴
…………………………………………… 11分
则
∴{an}为递减数列…………………………………… 12分
21．解：（1）令
……………………………… 1分
…………………………………………… 2分
当－2＜x≤0时 g’‘（x）≤0；当x＞0时，g‘（x）＞0………………………………… 3分
∴g（x）在（－2，0
上递减，在（0，+∞）上递增…………………………………… 4分
则x=0时 g（x）min=g（0）=0 g（x）≥g（x）min=0 ………………………………… 5分
即fn（x）≥nx ………………………………… 6分
（2）∵
即
……………………… 7分
易得x0＞0 …………………………… 9分
而
由（1）知x＞0时（1+x）n＞1+nx 故2n+1=（1+1）n+1＞n+2 ∴x0＜1 ………… 11分
综上0＜x0＜1 …………………………………………… 12分
22．解：（1）由条件得M(0，－
)，F(0，).
设直线AB的方程为：y=kx+，A(
，
)，B(
，
)
则
，
，Q(
).…………………………………… 1分
由
得
.…………………………………………… 3分
∴由韦达定理得+=2pk，·=－
…………………………………… 4分
从而有=
+=k(+)+p=
.……………… 5分
·
∴·的取值范围是
…………………………………………… 7分
（2）由
.又根据(1)知
∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2. ……………………………………… 8分
由于
=(－pk，p)，
∴
从而
.…………………………………………… 10分
又=
，
=
∴
.………………………………… 11分
而
的取值范围是［5，20］.
∴5≤5p2≤20，1≤p2≤4. …………………………………………… 12分
而p>0，∴1≤p≤2.
又p是不为1的正整数.
∴p=2.
故抛物线的方程：x2=4y. …………………………………………… 14分