高三理科数学精编模拟题（理二）
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．特称命题“
实数x，使
”的否定可以写成
A．若
B．
C．
D．
2．已知函数
是偶函数，
对应的图象如右图示，则
＝
A.
B.
C. 
D. 
3. 对于任意的两个数对
和
，定义运算
，若
，则复数
为
A．
B． 
C．
D．
4．设数列
的通项公式为
，前
项和为
，则中最大的是
A.
B.
或
C. D. 
5．如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，
，
正视图是边长为2的正方形,则左视图的面积为B
A. 
B. 
C. 
D. 
6．已知点P(x,y)满足条件
y的最大值为8，则
的值
A.－6 B.6 C. 8 D.不确定
7．
如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是．
A B
A． B． C． D．
8．若关于
的不等式
至少有一个负数解，则实数
的取值范围为是
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．
必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须做答．
9．已知
，若
，则
.
| x | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 1.2 | 2.5 | 3.5 | 4.8 |
10. 右表记录了某种汽车的使用年限x和所支出的费用y（万元）的统计资料，则用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为
；根据回归方程，估计使用年限为10年时，所支出的费用大约为
.（参考数据：
，
）
11．按下列程序框图运算：
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x=5，则运算进行 次才停止。
12．若点
在
内，则有结论 
，把命题类比推广到空间，若点在四面体
内，则有结论：_____________________________.
选做题：选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前二题的得分．
13．直线
（
为参数）与圆
（
为参数）相切，则此直线的倾
．；
14．不等式
的解集是
.
15．如图，已知
、
为⊙的切线，
、
分别为切点，
为⊙
的直径，若
，
，则
．
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
（1）判断△ABC的形状；
（2）若
的值.
17. （本小题满分12分）
一医院从5名男医生和3名女医生中选出4人加入医疗队，赴四川地震灾区参加救援工作。设随机变量
表示所选4人中女医生的人数。
(1) 求的分布列；
(2)
求的数学期望和方差。
18．(本小题满分14分)
如图，在组合体中，
是一个长方体，
是一个
四棱锥．
，
，点
且
．
（1）证明：
；
（2）求
与平面
所成的角的正切值；
（3）若
，当
为何值时，
．
19．(本小题满分14分)
观察下列三角形数表
1 -----------第一行
2 2 -----------第二行
3 4 3 -----------第三行
4 7 7 4 -----------第四行
5 11 14 11 5
… … … …
… … … … …
假设第行的第二个数为
，
（1）依次写出第六行的所有
个数字；
（2）归纳出
的关系式并求出
的通项公式；
（3）设
求证：
.
20. (本小题满分14分)
若存在实常数和
，使得函数
和对其定义域上的任意实数分别满足：
和
，则称直线
为和的“隔离直线”．已知
，
为自然对数的底数)．
（1）求
的极值；
（2）函数
和
是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知点H（－3，0），点P在
轴上，点Q在轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足
，
.
（1）当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过定点
作直线
交轨迹C于A、B两点，E
是D点关于坐标原点O的对称点，求证：
；
（3）在（2）中，是否存在垂直于轴的直线
被以AD为直径
的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案及评分说明
一．选择题：DCDB BABA
2.由图象可得
（
）因函数的图象关于y轴对称，可得
（
）,选C
3.由得
，选D.
4. 由≥0得≤5，所以或最大,选B.
5．左视图是长为２，宽为的长方形，故面积为,选B
6．画图，联立方程
得
，代入
，选A.
8．解法１：取
，得不等式
有负数解
，排除选项B、C，取
，不等式
无负数解，排除D,故选A
解法２：将原不等式变形为
，在同一坐标系内作出函数
和
的图象，函数的图象是从点
出
发的两条射线，如图，当射线
过点
时，
，当射线
与抛物线相切时，
，结合图象易得
二．填空题：9.5;10.
、10.67万元；11.4;
12. 
;13.
或
;14. 
;
15. 
.
解析：
11．第一次运算得13，第二次运算得37，第三次运算得109，第四次运算得325.
三．解答题：
16.解：（1）
------------------------------------1分
得
，即
由正弦定理得
--------------------------------------------------------------------3分
即
-------------------------------------------------------------------------------5分
为等腰三角形. ---------------7分
（2）由（1）知
--------------10分
--------------------------------12分
17.解：(1)能取的值为
,3.
--------------------------- ----3分
∴的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
-----------------6分
(2)由(1)知的数学期望为
---------------------------9分
方差
--------------------12分18(1)证明：∵，
，∴
为等腰直角三角形，∴
． ……1分
∵是一个长方体，∴
，而，
∴
，所以
．
……3分
∵
垂直于平面
内的两条相交直线
和
，由线面垂直的判定定理，可得．…4分
(2)解：过
点在平面
作
于
，连接
．……5分
∵
，∴
，
∴
就是与平面所成的角．……6分
∵
，
，∴
．……7分
∴与平面所成的角的正切值为
． ……8分
(3)解：当
时，．
……9分
当
时，四边形是一个正方形，所以
，而
，所以
，∴
．
……10分
而
，
与在同一个平面内，所以
．……12分
而
，∴
，
∴． ……14分
方法二：(1)建立空间直角坐标系，设棱长，则有
，
，
，
．
--------------------------------------------------------1分
于是
，
，
，∴
，
．……3分
∴垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得．
……4分
(2
，∴
，而平面的一个法向量为
．…5分
∴
．
……6分
∴与平面所成的角的正弦值为
．
……7分
∴与平面所成的角的正切值为．
……8分
(3
，∴
，
．设平面
的法向量为
，则有
，令
，可得平面的一个法向量为
……10分
若要使得，则要
，即
，解得．…12分
∴当时，． ……14分
19.解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6； --------------2分
（2）依题意
，
-------------------------------5分
------------------------7分
∴
； -------------------------------------9分
（3）∵ ∴
-------------11分
∴
---14分
20.解(1) 
，
．
…………………………2分
当
时，
．
…………………………3分
当
时，
，此时函数
递减；
当
时，
，此时函数递增；
∴当时，取极小值，其极小值为
．
…………………………6分
(2)解法一：由（1）可知函数和的图象在
处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．
…………………………7分
设隔离直线的斜率为，则直线方程为
，即
．
…………………………8分
由
，可得
当
时恒成立．
，
由
，得
．
…………………………10分
下面证明
当
时恒成立．
令
，则
，
…………………………11分
当时，
．
当时，
，此时函数
递增；
当时，
，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．
从而
，即
恒成立．………13分
∴函数和存在唯一的隔离直线
． ………………………14分
解法二： 由(Ⅰ)可知当时，
(当且当时取等号) ．……7分
若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得
和
恒成立，
令，则
且
，即
．
…………………………8分
后面解题步骤同解法一．
21.解：（1）设
,
且
, -------------------2分
-------------------------------------------------3分
.
--------------------------------------------------------------------------4分
∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）------5分
（2）解法一：①当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有；
-------------------------6分
②当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为
，
，则A，B两点的坐标满足方程组
消去并整理，得
,
.
---------------7分
设直线AE和BE的斜率分别为
，则:
＝
. -------------------9分
,
,
，
.
综合①、②可知.
--------------------------10分
解法二：依题意，设直线的方程为
，，则A，B两点的坐标满足方程组:
消去并整理，得
,
. -------------------------7分
设直线AE和BE的斜率分别为，则:
＝
.
-------------------9分
,
,
，
.
-------------------------------------10分
（3）假设存在满足条件的直线
，其方程为
，AD的中点为
，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则
，点的坐标为
.
,
,
.
----------------------------------------12分
,
令
，得
此时，
.
∴当
，即
时，
（定值）.
∴当时，满足条件的直线存在，其方程为
；当
时，满足条件的直线不存在.-----------------------------14分