高三级数学选修导数与复数测试题
时间：120分钟 满分：150分 姓名
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．函数y = (1－sinx)
的导数是（ ）
A.y=2sin2x-cosx B. y=sin2x+2cosx C.y=2sin2x-2cosx D .y=sin2x-2cosx
2．设
，则
等于（ ）
A .-1
B.
3．复数
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
=
，则
=（ ）
A . 0
B .
5.（2008重庆卷4)已知函数y=
的最大值为M,最小值为m,则
的值为 ( )
A．
B.
C.
D.
6．曲线
在点(1 ，
)处切线的倾斜角为（ ）
A.
B.
C. 
D.
7．
的图象开口向上，且顶点在第二象限，则
的图象大概是（ ）
 |
8．设
是定义在R上的偶函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．（－1，0）∪（1，+
） B．（－1，0）∪（0，1）
C．（－，－1）∪（1，+） D．（－，－1）∪（0，1）
9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）
³0，则必有（ ）
A.f（0）＋f（2）<
C. f（0）＋f（2）³
10．函数
的单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
及 D．
11．已知
（ ）
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2
12．已知f＇（0）=2，则
=（ ）
A．4
B．－
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分
13．已知函数
在R上可导，函数
，则
14．f（x）= 1+3sin x + 4cos x取得最大值时tan x =
15．设
、
为实数，且
，则+=_________
16．（2008江苏卷14）
对于
总有≥0 成立，则=
三、解答题：本大题共6小题，共74分
17．（12）已知
，求
的值。
18．（12）（20008全国Ⅰ卷19）已知函数
，
．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间
内是减函数，求的取值范围．
19．（12）已知函数
,(a
R),设曲线
在点(1 
)处的切线为
,若与圆C: 
相切，求a的值
20．（12）有一块半椭圆形钢板，其半轴长为
，短半轴长为
，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底
是半椭圆的短轴，上底
的端点在椭圆上，记
，梯形面积为
．
（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值．
21．（12）已知函数
（1）求函数f (x)的单调区间； （2）求证：x > 1时，
22．（2008天津卷21）（14分）已知函数
（
），其中
．
（Ⅰ）当
时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在
处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，求
的取值范围．
（导数与复数）参考答案
一 DBABC DCACA CD
二 13. 0
14. 
15. 4 16. 4
三．17．解：
=
18．解：解：（1）求导：
当
时，
，
，在
上递增
当
，
求得两根为
即在
递增，
递减，
递增
（2）
，且解得：
19．解：依题意有：= a, 
=2ax+
(x<2)
方程为
=0
与圆相切 
=
a=
20．解：（I）依题意，以的中点
为原点建立直角坐标系
（如图），则点
的横坐标为．
点的纵坐标满足方程
，
解得
，
其定义域为
．
（II）记
，
则
．
令，得
．
因为当
时，
；当
时，
，所以
是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为
．
即梯形面积的最大值为
．
21．解 1）依题意知函数的定义域为x > 0. 
，
所以，当a≤0时，f (x)的单调递增区间为（0，+∞）
当
时，
，令
，有
；
所以函数f (x)的单调递增区间为
；令
，有
所以函数f (x)的单调递减区间为
.
（2）设
时，
，
所以g (x)在（1，+∞）上是增函数，
∴当x>1时，
22．（Ⅰ）解：
．
当时，
．
令，解得
，
，
．
当变化时，
，的变化情况如下表：
|
|
| 0 |
|
|
| 2 |
|
|
| － | 0 | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
|
| ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以在
，
内是增函数，在
，
内是减函数．
（Ⅱ）解：
，显然不是方程
的根．
为使仅在处有极值，必须
成立，即有
．
解些不等式，得
．这时，
是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是
．
（Ⅲ）解：由条件，可知
，从而
恒成立．
当
时，；当时，．
因此函数在上的最大值是
与
两者中的较大者．
为使对任意的，不等式
在上恒成立，当且仅当
，即
，在上恒成立．
所以
，因此满足条件的的取值范围是
．
由(1)知a n> a 
(
)
故 对任意正整数n都有a n> a n+1。