2008届高三文科数学第二轮复习资料
——《函数与导数》专题
1．设
是定义在
上的函数，对一切
均有
，且当
时，
，求当
时，
的解析式．
2. 已知定义域为
的函数
是奇函数．（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
3．集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于任意的x≥0，f(x)∈(1,4]，且f(x)在[0，+∞)上是减函数.
（1）判断函数f
(x)=2-
及f
(x)=1+3·(
(x≥0)是否在集合A中？若不在集合A中，试说明理由；
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x)，不等式f(x)+f(x+2)≤k对于任意的x≥0总成立.求实数k的取值范围.
4. 对于函数
，若存在实数
，使
成立，则称为 的不动点．
（1）当
时，求的不动点；
（2）若对于任何实数
，函数恒有两个相异的不动点，求实数
的取值范围；
（3）在(2)的条件下，若
的图象上
两点的横坐标是函数的不动点，且直线
是线段
的垂直平分线，求实数的取值范围．
5. 已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图像都过P（2，0），且在点P处有相同的切线.
（1）求实数a、b、c的值；
（2）设函数F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调区间.
6．设x=1与x=2是函数f(x) = a lnx + bx2 + x的两个极值点．
（Ⅰ）试确定常数a和b的值；
（Ⅱ）试判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.
7. 2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：
.当燃料重量为
吨（e为自然对数的底数，
）时，该火箭的最大速度为4（km/s）.
（Ⅰ）求火箭的最大速度
与燃料重量x吨之间的函数关系式
；
（Ⅱ）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？
8．某工厂统计资料显示，产品次品率
与日产量x（件）（
）的关系符合如下规律：
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | … | 89 |
|
|
|
|
|
| … |
|
又知每生产一件正品盈利
元，每生产一件次品损失
元
（Ⅰ）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）为了获得最大盈利该厂的日产量应定为多少件？（取
计算）．
9. 某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促
销费用m万元（m≥0）满足
（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能
是1万件.已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元，厂家
将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资
金，不包括促销费用）.
（1）将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（Ⅱ）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数
的表达式；
（Ⅲ）当销售商一次订购多少件时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）
11. 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．
（Ⅰ）试解释
的实际意义；
（Ⅱ）设
，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？
12. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为、5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1
，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为
，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？
参考答案
1.解：由有
，
当时，
.
设
，则由得
，又
，
于是
，
故当时，
．
2.解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以
=0，即
又由f（1）= -f（-1）知
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，易知在上为减函数．
又因是奇函数，从而有不等式：
等价于
，
因为减函数，由上式推得：
．
即对一切有：
，从而判别式
３.解:（1）∵f
=2-
=-5
(1,4]，∴f
不在集合A中．
又∵x≥0, ∴0＜(≤1， ∴0＜3·(≤3，从而1＜1+3·(≤4．∴f(x)∈(1,4]．
又f(x)=1+3·(在[0，+∞)上为减函数，∴f(x)=1+3·(在集合A中.
（2）当x≥0时，f(x)+f(x+2)=2+
·(≤
．
又由已知f(x)+f(x+2) ≤k对于任意的x≥0总成立, ∴k≥．
因此所求实数k的取值范围是[,+∞)．
４.解： ，
（1）当时，
．
设
为其不动点，即
，则
．
所以
，即的不动点是
.
（2）由
得
.
由已知，此方程有相异二实根，所以
，
即
对任意
恒成立．
，
．
（3）设
，直线是线段的垂直平分线，
．
记的中点
，由(2)知
．
在上，
化简得：
，当
时，等号成立．
即
5.解：（1）∵f(x),g(x)的图像过P（2，0）∴f(2)=0即2×23+a×2=0，所以a=－8．
g(2)=0 即：4×b+c=0
又∵f(x)，g(x)在P处有相同的切线，∴4b=16，b=4，c=－16，
∴a=－18，b=4，c=－16．
（2）由F(x)=2x3+4x2－8x－16，有F′(x)=6x2+8x－8
解不等式F′(x)=6x2+8x－8≥0得x≤－2或x≥
即单调增区间为
．
同理，由F′(x)≤0得－2≤x≤，即单调减区间为[－2，]．
6.解：（Ⅰ）f′(x)=
+2bx+1，由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0, 且
+4b+1=0,
解方程组可得a=－
,b=－
,∴f(x)=－lnx－x2+x．
（Ⅱ）f′(x)=－x-1－
x+1,
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,
当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,
当x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0,
故在x=1处函数f(x)取得极小值
, 在x=2处函数取得极大值
－ln2.
7.解：（Ⅰ）依题意把
代入函数关系式
所以所求的函数关系式为
整理得
（Ⅱ）设应装载x吨燃料方能满足题意，此时，
，
代入函数关系式
即应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.
8.解:（Ⅰ）由与x的对应规律得次品率为
故日产量x件中，次品数为
件，正品数为
件．
则日盈利额
．
（Ⅱ）
（注：此步可由换元法令
得到）
当且仅当
时取等号．
由
时，
取得最小值，
又
，
，
因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．
9.解（1）由题意可知当
时，
（万件）
每件产品的销售价格为
（元）
…
（2）
（万元）时，
（万元）
所以该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元.
10.解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为
个，则
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.
（2）当
当
当
所以
（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
由于当
；
所以，
此时
由
解得
．
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得利润6000元.
11.解：（I）f（0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g（0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．
（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当
成立，双方均无失败的风险．
由（1）（2）得
答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．
12. 解：（I）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；出厂价为13×（1+0.7x）； 年销售量为5000×（1+0.4x）.因此本年度的利润为
（Ⅱ）本年度的利润为
则
由
当
是增函数；
当
是减函数.
∴当
时，
万元，
因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值．
即当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．