高三数学复习测试卷（二）
文科《立几、概率与统计、导数》 2008-7-23
一、选择题（5分/题，共计60分，答案填在12题后表中）
1、设
为空间三条直线，下面给出四个命题;①如果
，则
；②如果
是异面直线，
也是异面直线，则
也是异面直线；③如果相交，也相交，则必相交；④如果共面，也共面，则必共面。其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中甲选修2门；乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）
A．36种 B．48种 C．96种 D．192种
3、设P为曲线C：
上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4、某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是 ( )
A.简单随机抽样法 B.抽签法
C.随机数表法 D.分层抽样法
5、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 ( )
A.
B.
C.
D.
6、若函数
在
内单调递减，则实数
的取值范围为（ A ）
A. 
B.
C.
D.
7、函数
有极值的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
8、长方体
的各顶点都在半径为1的球面上,其中
,则两
点的球面距离为( )
A．
B．
C．
D．
9、如果函数y=f(x)的图象如右图，那么
导函数
的图象可能是（ ）
10、已知函数
在区间[-1，2]上是减函数，那么
（ ）
A.有最大值
B.有最大值
C.有最小值
D.有最小值
11、
如图长方体中，AB=AD=2
，
CC1=
，则二面角C1—BD—C
的大小为（ ）
Ａ．30° B．45°
C．60° D．90°
12、某城市拟成立一个由6名大学生组成的社会调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的3所大学，要求每所大学都有学生参加，则不同名额分配方法共有（ ）
A.20种 B.14种 C.10种 D.9种
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | C | A | D | B | A | C | C | A | B | A | C |
二 、填空题（本题共4小题， 4分/题，共计16分）
13、若一个球的体积为
，则它的表面积为 
．
14、点P的曲线y=x3-x+上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围
．
15、已知函数
的图象在点
处的切线方程是
，则
＝ 3 ．
16、过点
和曲线
相切的直线方程为_____
或
.
三、解答题（本题6小题，共计74分）
17、（10分）设集合
，
是坐标平面上的点，、
。
（1）可以表示多少个坐标平面上的不同的点？
（2）可以表示多少个第二象限内的点？
（3）可以表示多少个不在直线
上的点？
【解】：（1）36 (2)6 （３）30
18、（12分）已知函数
，且
是奇函数．
（Ⅰ）求，
的值；（Ⅱ）求函数
的单调区间．
【解】：（Ⅰ）因为函数为奇函数，
所以，对任意的
，
，即
．
又
所以
．
所以
解得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
所以
．
当
时，由
得
．
变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
| + | 0 | _ | 0 | + |
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
所以，当时，函数在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
当
时，
，所以函数在
上单调递增．
19、（12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是
，且面试是否合格互不影响.求：
(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率：
(Ⅱ)没有人签约的概率.
【解】：用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)=.
(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是1－P(
)
＝1－
.
(Ⅱ)没有人签约的概率为
＝
＝
20、（12分）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
解法一：
（Ⅰ）取
中点
，连结
．
，
．
，
．
，
平面
．
平面，
．
（Ⅱ），
，
．
又，
．
又，即
，且
，
平面
．
取
中点
．连结
．
，
．
是
在平面内的射影，
．
是二面角的平面角．
在
中，
，
，
，
．
二面角的大小为
．
解法二：
（Ⅰ），，．
又，．
，
平面
．
平面，．
（Ⅱ）如图，以
为原点建立空间直角坐标系
．
则
．
设
．
，
，
．取中点，连结．
，
，，
．
是二面角的平面角．
，
，
，
．
二面角的大小为
．
21、（12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：
5，6，7，8，9，10．
把这6名学生的得分看成一个总体．
（Ⅰ）求该总体的平均数；
（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
【解】：（Ⅰ）总体平均数为
．··················································································· 4分
（Ⅱ）设
表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．共15个基本结果．
事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．
所以所求的概率为
． 12分
22、（12分）设函数
，其中
．
（Ⅰ）当
时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在
处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，求
的取值范围．
【解】（Ⅰ）：
．
当时，
．
令，解得
，
，
．
当变化时，，的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以在
，
内是增函数，在
，
内是减函数．
（Ⅱ）
，显然不是方程
的根．
为使仅在处有极值，必须
恒成立，即有
．
解此不等式，得
．这时，
是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是
．
（Ⅲ）由条件可知
，从而
恒成立．当
时，
；
当
时，．
因此函数在上的最大值是
与
两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当
即
在上恒成立．
所以
，因此满足条件的的取值范围是
．