高三数学立几、概率统计、导数、集合月考检测卷14.5.13
选编：徐良云
一、选择题（5′×12=60′）
1、若
是平面
外一点，则下列命题正确的是( D
)
A．过只能作一条直线与平面相交
B．过可作无数条直线与平面垂直
C．过只能作一条直线与平面平行
D．过可作无数条直线与平面平行
2、已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为（ A ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为
，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ C ）
A．
B．
C．
D．
4、曲线
在点
处的切线的倾斜角为（ B ）
A．
B．
C．
D．
5、
在区间
上的最大值是（ C ）
A．
B．
C．2
D．4
6、设曲线
在点（1，
）处的切线与直线
平行，则
（ A ）
A．1
B．
C．
D．
7、袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个、白色球8个、黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ A ）
A．
B．
C．
D．
8、从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( B )
A．108种 B．186种 C．216种 D．270种
9、设
在
内单调递增，
，则
是
的（ C ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10、曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( A )
A．
B．
C．
D．
11、已知对任意实数
，有
，
，且
时，
，
，则
时（ B ）
A．， B．，
C．
， D．，
12、过点
作抛物线
的切线，则其中一条切线为( D )
A．
B．
C．
D．
二、填空题（5′×4=20′）
13、
的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
【答案】10 32
14、函数
是减函数的区间为 ．
【答案】
15、已知函数
，
．
答案：-2
16、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在
（元）月收入段应抽出＿＿25＿＿人．
三、解答题（共6小题，计70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、设
，
，
，且
，求实数的取值范围．
解：
18、三棱锥被平行于底面
的平面所截得的几何体如图所示，截面为
，
，
平面，
，
，
，
，
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的大小．
解：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
则
，
，
．
点坐标为
．
，
．
，
，
，
，又
，
平面
，又
平面，平面平面．
（Ⅱ）
平面
，取
为平面的法向量，
设平面的法向量为
，则
．
，如图，可取
，则
，
，
即二面角为
．
19、在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”，
（1）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率；
（2）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率．
解：（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为
，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为
（2）设
表示所抽取的三张卡片中，恰有
张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为
则
, 
因而所求概率为
20、用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜
时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
21、(07全国1) 设函数
在
及
时取得极值，
（1）求、
的值；
（2）若对任意的
，都有
成立，求c的取值范围．
解：（Ⅰ）
，
因为函数
在及取得极值，则有
，
．
即
解得
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，
．当
时，；
当
时，；当
时，．
所以，当时，取得极大值
，又
，
．
则当
时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，所以 
，
解得 
或
，因此
的取值范围为
．
22、已知函数
，
（1）若在实数集
上单调递增，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使在
上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
解：（1）
（2）