高三第一学期期中数学考试卷（理科）(2)
一.选择题（每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.）
1. 函数
的反函数是【 】
A．
B．
C．
D．
2. 
、
都是定义在R上的奇函数，且
，若
，则
＝【 】
A．
B．
C．
D．
3.已知函数
有极大值和极小值。则
的取值范围为【 】
A. 
B．
C．
或
D．
或
4.已知定义在R上的偶函数
为
上的增函数，则满足
的实数
的取值范围是【 】
A.
B.
C.
D.
5.已知函数
，对任意的
有
和
，则
【 】
A．1003 B．1004 C．2007 D．2008
6. 设
是定义在
上以2为周期的偶函数，已知
时，
，则在（1，2）上【 】
A．是增函数，且
B．是增函数，且
C．是减函数，且 D．是减函数，且
7. 函数f(x)=
(0<a<b<c)的图象关于 对称【 】
A.x轴 B.y轴 C.原点 D.直线y=x
8. 已知
是偶函数，当x>0时，
，且当
时, n
恒成立，则m－n的最小值是【 】
A．
B．
C．1 D．
9.若函数
在上可导且满足不等式
恒成立，且常数
满足
，则下列不等式一定成立的是【 】
A.
10.已知函数
是定义在实数集
上的奇函数，且
，当
时，
，那么使
成立的
的值为【 】
A．
B．
C． 
D．
11.已知函数
的图象与函数
（
且
）的图象关于直线
对称，记
．若
在区间
上是增函数，则实数的取值范围是【 】
A．
B．
C．
D．
12. 设两质点
和
同时从同一地点沿同一方向作直线运动,其运动速度分别为
,和
,如图所示,用
表示在
时刻两质点的距离.则的图象大致为【 】
A B C D
二.填空题（每小题4分,共16分,请把答案直接写在答题卡上）
13.若函数
（为常数），在
内为增函数，则实数的取值范围为_________________。
14.设函数
，若
时，
恒成立，则实数
的取值范围是________．
15.已知函数
存在单调递减区间，则实数的取值范围为 .
16. 定义在R上的函数
为奇函数. 给出下列结论：①函数的最小正周期是
；②函数的图象关于点（
，0）对称；③函数的图象关于直线
对称；④函数的最大值为
其中正确结论的序号是
.（写出所有你认为正确的结论的序号）
三.解答题（本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17. 已知函数
（1）当
时，解关于
的不等式
（2）若不等式
对
恒成立，求实数
的值。
18.已知函数是定义在区间
上的偶函数，且
时，
（1）.求函数
的解析式；（2）.若矩形
的顶点
在函数的图像上，顶点
在轴上，求矩形的面积的最大值。
19. 设
，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正实数
，使函数的定义域和值域相同。
20.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为(2，0)且f(x)在[-1,0]和[4，5]上有相同的单调性，
在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性 （1）求实数c的值；
（2）在函数f(x)图象上是否存在一点M(x0,y0)，使f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；不存在说明理由
21. .已知函数
(x>0)在x = 1处取得极值
，其中a,b,c为常数。 （1）试确定a,b的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式
恒成立，求c的取值范围。
22.已知函数
（1）判定的单调性，并证明。
（2）设
，若方程
有实根，求的取值范围。
（3）求函数
在
上的最大值和最小值。
参考答案
一.选择题（每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | A | B | D | D | B | D | B | C | A | B | B | B |
二.填空题（每小题4分,共16分）
13. 
14. 
15. 
16.②③
三.解答题（本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17. 已知函数（1）当时，解关于的不等式
（2）若不等式对恒成立，求实数的值。
解：（1）
,
当a>1时，
为集为
，
当a=1时，
，解集为
；
（2）依题意知f(1)是f(x)的最小值，又f(1)不可能是端点值，则f(1)是f(x)的一个极小值，即
，由
，
18.已知函数是定义在区间上的偶函数，且时， （1）.求函数的解析式；（2）.若矩形的顶点在函数的图像上，顶点在轴上，求矩形的面积的最大值。
解：（1）当
所以f(-x)＝-(-x)2-(-x)+5=-x2+x+5，
又因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)=-x2+x+5，
所以f(x)=
（2）由题意，不妨设Ａ点在第一象限，坐标为(t,-t2-t+5)其中，
，
则S(t)=S ABCD=2t(-t2-t+5)=-2t3-2t2+10t.
，
令
得
（舍去），t2=1.
当
时
，所以S(t)在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当t=1时，ABCD的面积取得极大值也是S(t)在上的最大值。
从而当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6.
19. 设，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正实数，使函数的定义域和值域相同。
解：（1）若
，则对于每个正数，
的定义域和值域都是
，
故满足条件；
（2）若，则对于正数，的定义域为
， 但的值域
，
故
，即不合条件；
（3）若
，则对正数，的定义域
由于此时
，故的值域为
则
综上所述：的值为0或
20.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为(2，0)且f(x)在[-1,0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性 （Ⅰ）求实数c的值；
（Ⅱ）在函数f(x)图象上是否存在一点M(x0,y0)，使f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；不存在说明理由
解：(1)因为f(x)在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
所以x=0是f(x)的一个极值点 ∴f′(0)=0 ∴c=0
(2)因为f(x)交x轴于点B(2,0)，所以8a+4b+d=0即d=-4(b+2a)
令f′(x)=0得3ax2+2bx=0,解得x1=0,x2=-
因为f(x)在[0，2]和[4，5]上有相反单调性，
所以-≥2且-≤4 即有-6≤
假设存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线率为3b，则f′(x0)=3b
即3ax02+2bx0-3b=0 所以△=4ab(
)
∵-6≤
故不存在点M(x0，y0),使得f(x)在点M的切钱斜率为3b
21. .已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。
解：（I）由题意知
，因此
，从而
．
又对求导得
．
由题意，因此
，解得
．
（II）由（I）知
（
），令
，解得
．
当
时，
，此时为减函数；
当
时，
，此时为增函数．
因此的单调递减区间为
，而的单调递增区间为
．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使
（）恒成立，只需
．即
，
从而
， 解得
或
．
所以
的取值范围为
．
22.已知函数（1）判定的单调性，并证明。
（2）设，若方程有实根，求的取值范围。
（3）求函数在上的最大值和最小值。
解：（1）
，当x<-3时，任取x1<x2<-3
则
-
＝
，
∵(x1-3)(x2+3)-(x1+3)(x2-3)=6(x1-x2)<0，
又（x1-3）(x2+3)>0且(x1+3)(x2-3)>0
∴
<1
∴当a>1时，f(x1)-f(x2)<0，∴f(x)在(
)上单调递增
当0<a<1时，f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x)在()上单调递减
当x>3时，同理。
（2）若f(x)=g(x)有实根，即: 
∴
，∴方程
有大于3的实根。
∴
＝
当且仅当
，即
“＝”号成立
∴
。
（3）
，
由
得x2-3x-4=0解得x1=4,x2=-1（舍去）
当
时，
单调递减；
∴函数h(x)在[4,6]上的最为
，最大值为h(4)=-2。