2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)
数 学（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合
，
的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
解：的子集共
个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B
2．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：选D．由
．
3．
的展开式中含
项的系数为（ ） A．4 B．5 C．10 D．12
解： 选C．
，
其展开式中含项的系数为
．
4．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：选A．
．
5．已知
，则
（ ）
A．2 B．
C．3 D．
解：选C．
6．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解： 设球的半径为
；正三棱锥的底面面积
，
，
。所以 
，选A
7．若点
到双曲线
的一条渐近线的距离为
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C．
D．
解：设过一象限的渐近线倾斜角为
所以
，因此
，选A。
8．在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ）A．
B．
C．
D．
解：因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书。问题等价于选3本书有文艺书的概率：
9．过点
的直线与圆
相交于，
两点，则
的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
解：如图最小时，弦心距最大为1，
10．已知两个单位向量
与
的夹角为
，则
与
互相垂直的充要条件是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
为任意实数
解：
。另外与是夹角为的单位向量，画图知时
与
构成菱形，排除AB，而D选项明显不对，故选C。
11．设函数
的图像关于直线
及直线
对称，且
时，
，则
（ ）A． B．
C．
D．
解：
12．在正方体
中，
是棱
的中点，则
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：如图以D为坐标系原点,
为单位长，
分别为
轴建立坐标系，易见
，
，所以
，选B。（如果连结
,用余弦定理解三角形也可以求得答案。）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．函数
的反函数为_____________________．
解：
，所以反函数
，
14．函数
的最大值是____________．
解： 因为
，
，
，正好
时取等号。
（另
在
时取最大值）
15．设等差数列
的前
项和为
，且
．若
，则
__________．
解：
，取特殊值
令
，所以
16．已知
，
为空间中一点，且
，则直线
与平面
所成角的正弦值为___________．
解：由对称性点在平面内的射影
必在
的平分线上
作
于，连结
则由三垂线定理
，设
，又
,所以
，因此直线与平面所成角的正弦值
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）在
中，内角，，对边的边长分别是
，
，
，已知
．
（Ⅰ）若
，且为钝角，求内角与的大小；
（Ⅱ）求
的最大值．
解：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有
．
故
．因为为钝角，所以
．
由
，可得
，得
，
．
（Ⅱ）由余弦定理及条件
，有
，
因
，所以
．故
，
当
时，等号成立．从而，的最大值为
．
18．（本小题满分12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：类、类、类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有类产品或2件都是类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为类品，类品和类品的概率分别为
，
和，且各件产品的质量情况互不影响．
（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，求一天中至少有一次需要调整设备的概率．
解：（Ⅰ）设
表示事件“在一次抽检中抽到的第
件产品为类品”，
．
表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为类品”，．
表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．
则
．
由已知 
，
，．
所以，所求的概率为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一次抽检后，设备不需要调整的概率为
．
故所求概率为： 
19．（本小题满分12分）如图，一张平行四边形的硬纸片
中，
，
．沿它的对角线
把
折起，使点
到达平面外点的位置．
（Ⅰ）证明：平面
平面
；
（Ⅱ）当二面角
为
时，求
的长
解：（Ⅰ）证明：因为
，
，所以
．
因为折叠过程中，
，
所以
，又
，故
平面．
又
平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）知
，
，
所以
是二面角
的平面角．由已知得，
．
作
，垂足为
，
由
可得
，
．
连结
，在
中，
．
因为平面平面，
所以
平面，可知
．
在
中，
．
解法二：由已知得
．以为原点，射线
，
分别为
，
轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系
．则
，
，
，
．由（Ⅰ）知，，所以为二面角的平面角．
由已知可得，
所以
．
所以
，
即的长为2．
20．（本小题满分12分）在数列中，
，
．
（Ⅰ）证明数列
是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）令
，求数列
的前项和；
（Ⅲ）求数列的前项和
．
解：（Ⅰ）由条件得
，又
时，
，
故数列构成首项为1，公式为的等比数列．从而
，即
．
（Ⅱ）由
得
，
，
两式相减得 ： 
， 所以 
．
（Ⅲ）由
得
所以
．
21．（本小题满分12分）已知椭圆
的中心和抛物线
的顶点都在坐标原点
，和有公共焦点，点在轴正半轴上，且的长轴长、短轴长及点到右准线的距离成等比数列．
（Ⅰ）当的准线与右准线间的距离为15时，求及的方程；
（Ⅱ）设过点且斜率为1的直线
交于
，
两点，交于
，
两点．当
时，求
的值．
解：（Ⅰ）设：
，其半焦距为
．则：
．
由条件知
，得
．
的右准线方程为
，即
．
的准线方程为
．
由条件知
， 所以
，故
，
．
从而：
， ：
．
（Ⅱ）由题设知：
，设
，
，
，
．
由
，得
，所以
．
而
，由条件，得
．
由（Ⅰ）得
，
．从而，：
，即
．
由
，得
．所以
，
．
故
．
22．（本小题满分14分）设函数
．
（Ⅰ）求
的单调区间和极值；
（Ⅱ）若当
时，
，求
的最大值．
解：（Ⅰ）
．
于是，当
时，
；
时，
．
故在
单调减少，在
，
单调增加．
当
时，取得极大值
；
当时，取得极小值
．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）及
，
，在
的最大值为4，最小值为1．
因此，当时，
的充要条件是
，
即，满足约束条件
，
由线性规划得，的最大值为7．