08年普通高等学校招生全国考试理科数学四川延考卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）集合
，
的子集中，含有元素
的子集共有
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
解：的子集共
个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B
（2）已知复数
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
解：
（3）
的展开式中含
的项的系数为
（A）4 （B）6 （C）10 （D）12
解：
展开式中含项的系数为
（4）已知
，则不等式
的解集为
（A）
≥199，
（B）≥200，
（C）≥201，
（D）≥202，
解：
（5）已知
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
解：
，选C
（6）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（A）
（B）
（C）
（D）
解： 设球的半径为
；正三棱锥的底面面积
，
，
。所以 
，选A
（7）若点
到双曲线
的一条淅近线的距离为
，则双曲线的离心率为
（A） （B）
（C）
（D）
解：设过一象限的渐近线倾斜角为
所以
，因此
，选A。
（8）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（A）
（B）
（C）
（D）
解：因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书。问题等价于选3本书有文艺书的概率：
（9）过点
的直线与圆
相交于
两点，则
的最小值为
（A）
（B）
（C） （D）
解： 弦心距最大为
，的最小值为
（10）已知两个单位向量
与
的夹角为
，则
的充要条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
解：
，选C
（11）设函数
的图象关于直线
及直线
对称，且
时，
，则
（A） （B）
（C）
（D）
解：
（12）一个正方体的展开图如图所示，
为原正方体的顶点，为原正方体一条棱的中点。在原来的正方体中，
与
所成角的余弦值为 （A）
（B）
（C） （D）
解：还原正方体如右图所示设
,则
,
,
,与所成角等于
与所成角,
所以余弦值为
,选 D
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中模式横线上。
（13）函数
的反函数为 。
解：
，所以反函数
，
（14）设等差数列
的前
项和为
，且
。若
，则
。
解：
，取特殊值
令
，所以
（15）已知函数
在
单调增加，在
单调减少，则
。
解：由题意
又
，令
得
。（如
，则
，
与已知矛盾）
（16）已知
，
为空间中一点，且
，则直线
与平面
所成角的正弦值为 。
解：由对称性点在平面内的射影
必在
的平分线上作
于
，连结
则由三垂线定理
，
设
，又
,所以
，因此直线与平面所成角的正弦值
三．解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）在△
中，内角
对边的边长分别是
，已知
。
（Ⅰ）若
，且为钝角，求内角与的大小；
（Ⅱ）若
，求△面积的最大值。
解：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有
。
故
。因为钝角，所以
。
由
，可得
，得
，
。
（Ⅱ）由余弦定理及条件
，有
，故
≥。
由于△面积
，
又
≤
，
≤
，
当
时，两个不等式中等号同时成立，
所以△面积的最大值为
。
（18）（本小题满分12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：类、
类、类。检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有类产品或2件都是类产品，就需要调整设备，否则不需要调整。已知该生产线上生产的每件产品为类品，类品和类品的概率分别为
，
和，且各件产品的质量情况互不影响。
（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，以
表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望。
解：（Ⅰ）设
表示事件“在一次抽检中抽到的第
件产品为类品”，
表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为类品”，
表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”。
则
。
由已知
，
所以，所求的概率为
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知一次抽检后，设备需要调整的概率为
，依题意知
，的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
| 0．729 | 0．243 | 0．027 | 0．001 |
。
（19）（本小题满分12分）
如图，一张平行四边形的硬纸片
中，
，
。沿它的对角线
把
△
折起，使点
到达平面外点的位置。
（Ⅰ）证明：平面
平面
；
（Ⅱ）如果△为等腰三角形，求二面角
的大小。
解：（Ⅰ）证明：因为
，
，
所以
，
。
因为折叠过程中，
，
所以
，又
，故
平面。
又
平面，所以平面平面。
（Ⅱ）解法一：如图，延长
到，使
，连结
，。
因为
，
，
，
，所以
为正方形，
。
由于，
都与平面垂直，所以
，可知
。
因此只有
时，△为等腰三角形。
在
△
中，
，又
，
所以△
为等边三角形，
。
由（Ⅰ）可知，，所以
为二面角的平面角，即二面角的大小为
。
解法二：以为坐标原点，射线
，分别为
轴正半轴和
轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系
，则
，
，
。
由（Ⅰ）可设点的坐标为
，其中
，则有
。 ①
因为△为等腰三角形，所以
或
。
若，则有
。
则此得，
，不合题意。
若，则有
。
②
联立①和②得
，
。故点的坐标为
。
由于
，
，所以
与
夹角的大小等于二面角的大小。
又
，
，
所以
即二面角的大小为。
（20）（本小题满分12分）在数列中，
，
。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）令
，求数列
的前项和。
（Ⅲ）求数列的前项和
。
解：（Ⅰ）由条件得
，又
时，
，
故数列
构成首项为1，公式为的等比数列．从而
，即
．
（Ⅱ）由
得
，
，
两式相减得 ： 
， 所以 
．
（Ⅲ）由
得
所以
．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆
的中心和抛物线
的顶点都在坐标原点
，和有公共焦点
，点在轴正半轴上，且的长轴长、短轴长及点到右准线的距离成等比数列。
（Ⅰ）当的准线与右准线间的距离为
时，求及的方程；
（Ⅱ）设过点且斜率为
的直线
交于
，
两点，交于
，
两点。当
时，求
的值。
解：（Ⅰ）设：
，其半焦距为
．则：
．
由条件知
，得
．
的右准线方程为
，即
．
的准线方程为
．
由条件知
， 所以
，故
，
．
从而：
， ：
．
（Ⅱ）由题设知：
，设
，
，
，
．
由（Ⅰ）知
，即
由
， 知
满足 
，
从而
由条件
,得
， 故：
．
由
得
，所以
于是
（22）（本小题满分14分）
设函数
。
（Ⅰ）求
的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对一切
，
，求
的最大值。
解：（Ⅰ）
，
当
时，
；当
时，；
故在
单调增加，在
单调减少。
的极小值
，极大值
（Ⅱ）由
知
即 
由此及（Ⅰ）知的最小值为
，最大值为
因此对一切，的充要条件是，
即
，
满足约束条件
，
由线性规划得，的最大值为5．