3.2 简单的三角恒等变换
一、填空题
1．若
π＜α＜
π，sin2α=－
，求tan
________________
2．已知sinθ=－
，3π＜θ＜
，则tan
的值为___________．
3．已知sin+cos=－
，且
＜α＜3π，则cot
的值为____________．
4．已知α为钝角、β为锐角且sinα=，sinβ=
，则cos
的值为____________．
5． 设5π＜θ＜6π，cos=a，则sin
的值等于________________
二、解答题
6．化简
．
7．求证：2sin（
－x）·sin（+x）=cos2x．
8．求证：
．
9．在△ABC中，已知cosA=
，求证：
．
10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．
11． 设－3π＜α＜－，化简
．
12． 求证：1+2cos2θ－cos2θ=2．
13． 求证：4sinθ·cos2=2sinθ+sin2θ．
14． 设25sin2x+sinx－24=0，x是第二象限角，求cos
的值．
15． 已知sinα=，sin（α+β）=，α与β均为锐角，求cos
．
参考答案
一、填空题
1．
． 2．－3 3． 
4．
5．－
二、解答题
6．解：原式=
=
=
=
=tanθ．
7．证明：左边=2sin（
－x）·sin（+x）
=2sin（－x）·cos（－x）
=sin（
－2x）
=cos2x
=右边，原题得证．
8．证明：左边=
=
=
=
=
=右边，原题得证．
9．证明：∵cosA=，
∴1－cosA=
，
1+cosA=
．
∴
．
而
，
，
∴tan2
·tan2
，即．
10．解：因为15°是第一象限的角，所以
sin15°=
，
cos15°=
，
tan15°=
=2－
．
11．解：∵－3π＜α＜－，∴－
＜＜－
，cos＜0．
又由诱导公式得cos（α－π）=－cosα，
∴
=－cos．
12．证明：左边=1+2cos2θ－cos2θ=1+2·
－cos2θ=2=右边．
13．证明：左边=4sinθ·cos2=2sinθ·2cos2=2sinθ·（1+cosθ）
=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边．
14．解：因为25sin2x+sinx－24=0，
所以sinx=
或sinx=－1．
又因为x是第二象限角，
所以sinx=，cosx=－
．
又是第一或第三象限角，
从而cos=±
=±．
15．解：∵0＜α＜，∴cosα=
．
又∵0＜α＜，0＜β＜，
∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜，
∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能．
故＜α+β＜π．∴cos（α+β）=－．
∴cosβ=cos［（α+β）－α］
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=－·
·
，
∵0＜β＜，
∴0＜
＜．
故cos
．