数列的通项以及用归纳法证明不等式
例 在1与2之间插入
个正数
，使这
个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数
，使这个数成等差数列．记
．求：
（1）求数列
和
的通项；
（2）当
时，比较
与
的大小，并证明你的结论．
分析：本题考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．
解：（1）
成等比数列，
成等差数列，
所以数列的通项
，数列的通项
（2）
要比较与的大小，只需比较
的大小，也就是比较当时，
与
的大小．
当
时，
，知
经验证，
时，均有
成立，猜想，当时有
下面用数学归纳法证明：
（ⅰ）时已证
（ⅱ）假设
时不等式成立，即
，好么
故
．即
时不等式也成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）当时，成立，即
说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．
猜想数列通项、利用归纳法证明不等式
例 设数列
满足
（1）当
时，求
，并由此猜想出
的一个通项公式；
（2）当
时，证明对所有的
，有（ⅰ）
（ⅱ）
分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．
解：（1）由得
由
得
由
，得
由此猜想的一个通项公式：
（2）（ⅰ）用数学归纳法证明：
①当
，不等式成立．
②假设当
时不等式成立，即
，那么，
也就是说，当时，
根据①和②，对于所有，有
（ⅱ）由
及（ⅰ），对
，有
……
于是
说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题．
数列与归纳法的综合题
例 设
为常数，且
（Ⅰ）证明对任意
（Ⅱ）假设对任意有
，求的取值范围．
分析： 本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考考灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
证明：（Ⅰ）证法一：（1）当
时，由已知
，等式成立．
（ⅱ）假设当
等式成立，即
那么
也就是说，当时，等式也成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）可知
证法二：如果设
用
代入，可解出
所以
是公比的－2，首项为
的等比数列．
即
（Ⅱ）解法一：由通项公式
①
（ⅰ）当
时，①式即为
即为
②
②式对
都成立，有
（ⅱ）当
时，
即为
③
③式对都成立，有
综上，①式对任意
成立，有
故的取值范围为
解法二：如果
成立，特别取
有
因此
下面证明当
时，对任意，有
由通项公式
，时
（2）当
时，
故的取值范围为
判断证明过程的正误
例 试判断下面的证明过程是否正确：
用数学归纳法证明：
证明：（1）当时，左边＝1，右边＝1
∴当时命题成立．
（2）假设当时命题成立，即
则当时，需证
由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为
的等差数列的前项和，其和为
∴
式成立，即时，命题成立．根据（1）（2）可知，对一切
，命题成立．
分析：看一个用数学归纳法证明数学问题是否正确．关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步归纳假设是否被应用，如果没有用到归纳假设，那就是不正确的．
解： 以上用数学归纳法证明的过程是错误的．
在证明当时等式成立时，没有用到当时命题成立的归纳假设，故不符合数学归纳法证题的要求．
第二步正确的证明方法是：
假设当时命题成立，即
则当时，
即当时，命题成立．
说明：用数学归纳法证题的两个步骤相辅相成缺一不可．尽管有些与正整数有关的命题用其它方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须严格按照数学归纳法的步骤进行，否则是不正确的．
用数学归纳法证明等式
例 用数学归纳法证明
分析：用数学归纳法证明一个与整数有关的命题，关键是第二步，要注意当时，等式两边的式子与时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．
证明：（1）当时，左边
，右边
，赞美式成立．
（2）假设当时，等式成立，即
则当时，
即当时，等式成立．
根据（1）、（2）可知，对一切，等式成立．
说明：解题过程中容易将时，等式右边错写为
，从而导致证明错误或无法进行．特别要注意等式右边的每一个式子都在随的变化而变化．
利用数学归纳法证明正切等式
例 用数学归纳法证明
分析：在由假设时等式成立，推导当时等式成立时，要灵活应用三角公式及其变形公式，本题中涉及到两个角的正切的乘积问题，联想到两角差的正切公式的变形公式：
，问题就会迎刃而解．
证明：（1）当
时，左边
右边
，等式成立．
（2）假设当时，
等式成立，即
则当时，
由
得
代入式，得
右边
即
这就是说，当时等式成立．
根据（1）、（2）可知，对任意
，等式成立．
说明：灵活应用三角公式是解决三角问题常用的方法和技巧，恰当的应用公式是关键．如果应用公式
来变形，本题就会出现困难．解决有关
的式子时，经常要用到
展开式及其变形公式．
利用归纳法证明整除问题
例 用数学归纳法证明：
能被9整除．
．
分析：证明一个与有关的式子
能被一个数
（或一个代数式
）整除，主要是找到
与
的关系，设法找到式子
，使得
，就可证昨命题成立．
证明：（1）当时，
，能被9整除，命题成立．
（2）假设当时，
能被9整除，当时，
和
都能被9整除．
都能被9整除．
即
能被9整除．
即当时，命题成立．
由（1）、（2）可知，对任何命题都成立．
说明：如果将时，
变为
能被9整除，困难就大一些．本题也可用二项式定理把
写成
展开后，再证明．
用归纳法证明直线分割平面问题
例 平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明这条直线把平面分成
个部分．
分析：用数学归纳法证明几何问题，主要搞清楚当时比当时，分点增加了多少个，区城增加了多少块，线段增加了多少条．本问题中第条直线与前
条直线有个分点，平面区域增加了块．
证明：（1）当时，平面被分成2部分．
又
，命题成立．
（2）假设当
时命题成立．即符合条件的条直线把平面分成
个部分．现在来考虑平面内有条直线的情况．任取其中的一条直线，记为
（如下图）图与其它条直线有个交点，平面区域增加了块，从而这条直线把平面分成了
根据（1）、（2）可知，命题对任何正整数都成立．
说明：不能错误地认为第条直线被其它条直线分成段，区域增加了部分或2部分．
证明有关几何问题，哪边形内角和公式，边形对角线条数公式，还要确定初始值
应为多少．由到时又是如何变化的．
猜想并证明数列的通项
例 对于数列，若
（1）求
，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
分析：由已知条件，可直接求出 式，通过观察归纳，猜想出的表达式，再用数学归纳法加以证明．
解：（1）
同理可得
猜想
（2）（ⅰ）当时，右边
，等式成立．
（ⅱ）假设当时
，等式成立，即
，则当时，
这就是说，当时，等式也成立．
根据（ⅰ）、（ⅱ）可知，对于一切，
成立．
说明：这类题型是常见题型，尤其是用数学归纳法证明与递推关系有关系的命题时，依归纳假设证明当时命题也成立时，除了用上假设之外，一定还得用上递推关系，否则假设也没法用．这是用数学归纳法证明递推关系时值得注意的地方．