分段函数的极限和连续性
例 设
（1）求
在点
处的左、右极限，函数在点处是否有极限？
（2）函数在点处是否连续？
（3）确定函数的连续区间．
分析：对于函数在给定点
处的连续性，关键是判断函数当
时的极限是否等于
；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．
解：（1）
∴
函数在点处有极限．
（2）
函数在点处不连续．
（3）函数的连续区间是（0，1），（1，2）．
说明：不能错误地认为
存在，则在处就连续．求分段函数在分界点的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有
才存在．
函数的图象及连续性
例 已知函数
，
（1）求的定义域，并作出函数的图象；
（2）求的不连续点；
（3）对补充定义，使其是R上的连续函数．
分析：函数是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x的取值范围，给函数补充定义，使其在R上是连续函数，一般是先求
，再让
即可．
解：（1）当
时，有
．
因此，函数的定义域是
当
时，
其图象如下图．
（2）由定义域知，函数的不连续点是
．
（3）因为当时，
所以
因此，将的表达式改写为
则函数在R上是连续函数．
说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．
利用函数图象判定方程是否存在实数根
例
利用连续函数的图象特征，判定方程
是否存在实数根．
分析：要判定方程
是否有实根，即判定对应的连续函数
的图象是否与x轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．
解：设
，则是R上的连续函数．
又
，因此在
内必存在一点，使
，所以是方程的一个实根．
所以方程有实数根．
说明：作出函数的图象，看图象是否与x轴有交点是判别方程是否有实数根的常用方法，由于函数是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用．
函数在区间上的连续性
例 函数
在区间（0，2）内是否连续，在区间
上呢？
分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续．
解：
（
且
）
任取
，则
∴ 
在（0，2）内连续．
但在
处无定义，∴ 在处不连续．
从而在上不连线
说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．
函数在某一点处的连续性
例 讨论函数
在与
点处的连续性
分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．
明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得的表达式，使解答搁浅．
讨论在与点处的连续性，若作出的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证．
由于的表达式并非显式，所以须先求出的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含
，故须分类讨论．
解：（1）求的表达式：
①当
时，
②当
时，
③当时，
∴
（2）讨论在点处的连续性：
∴
不存在，在点处不连续
（3）讨论在点处的连续性：
∴
，在点处连续．
根据函数的连续性确定参数的值
例 若函数
在
处连续，试确定a的值
解：
欲在处连续，
必须使
，故
说明：利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解．