高三年级数学（理科）第一次调研考试
2008.3
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．
1.
设全集
，集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.
复数
，
，则复数
在复平面内对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.
如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
4.
设
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.
已知等差数列
的公差
，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6.
函数
的零点所在的大致区间是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7.
为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间
（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是 （ ）
A．3800 B．6200 C．
D．
 |
8.
如图，已知
、
，从点
射出的光线经直线
反向后再射到直线
上，最后经直线反射后又回到
点，则光线所经过的路程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、 填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．其中13～15小题是选做题，考生只能选做两题，若三题全答，则只计算前两题得分．
9.
在
中，
、
分别为角
、
的对边，若
，
，
，则边的长等于 ．
10. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是
．（用数字作答）
11.
在
中，两直角边分别为、，设
为斜边上的高，则
，由此类比：三棱锥
中的三条侧棱
、
、
两两垂直，且长度分别为、、
，设棱锥底面
上的高为，则 ．
12.
已知定义在区间
上的函数
的图像如图所示，对于满足
的任意
、
，给出下列结论：
①
；
②
；
③
．
其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
13.
（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆
的圆心的极坐标是 ，它与方程
（
）所表示的图形的交点的极坐标是 ．
14.
（不等式选讲选做题）已知点是边长为
的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为
、
、
，则、、所满足的关系式为 ，
的最小值是 ．
15.
（几何证明选讲选做题）如图，
是
的切线，切点为
，直线
与交于、两点，
的平分线分别交直线
、
于
、
两点，已知
，
，则
，
．
三、 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
已知向量
，
，函数
．
（Ⅰ）求的最大值及相应的的值；
（Ⅱ）若
，求
的值．
17. （本小题满分12分）
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在
下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率
；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记
为落入袋中的小球个数，试求
的概率和的数学期望
．
18. （本小题满分14分）
如图所示的几何体
中，
平面
，
∥
，
，
，
是
的中点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
19. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知点
、
，是平面内一动点，直线、
的斜率之积为
．
（Ⅰ）求动点的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点
作直线
与轨迹交于、
两点，线段
的中点为，求直线
的斜率
的取值范围．
20. （本小题满分14分）
已知
，
（
），直线与函数、
的图像都
相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线的方程及
的值；
（Ⅱ）若
（其中
是的导函数），求函数
的最大值；
（Ⅲ）当
时，求证：
．
21. （本小题满分14分）
如图，
、
、…、
（
）是曲线：
（
）上的
个点，点
（
）在轴的正半轴上，且
是正三角形（
是坐标原点）．
（Ⅰ）写出
、
、
；
（Ⅱ）求出点
（
）的横坐标
关于的表达式；
（Ⅲ）设
，若对任意的正整数，当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
高三年级数学（理科）第一次调研考试
数学（理科）参考答案
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | D | A | A | C | B | B | C | A |
二、 填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．其中13～15小题是选做题，考生只能选做两题，若三题全答，则只计算前两题得分．
9．
10．
11．
12．②③ 13．
，
14．
， 15．
，
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 解：（Ⅰ）因为，，所以
．
因此，当
，即
（
）时，取得最大值
；
（Ⅱ）由
及得
，两边平方得
，即
．
因此，
．
17. 解：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故
，
从而
；
（Ⅱ）显然，随机变量
，故
，
．
18. 
解： 建立如图所示的空间直角坐标系，
并设
，则
（Ⅰ）
，
，
所以
，从而得
；
（Ⅱ）设
是平面
的
法向量，则由
，
及
，
得
可以取
．
显然，
为平面
的法向量．
设二面角的平面角为
，则此二面角的余弦值
．
19. 解：（Ⅰ）依题意，有
（
），化简得
（），
这就是动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）依题意，可设
、
、
，则有
，
两式相减，得
，由此得点的轨迹方程为
（
）．
设直线：
（其中
），则
，
故由
，即
，解之得的取值范围是
．
20. 解：（Ⅰ）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率
，
所以直线的方程为
．
又因为直线与的图像相切，所以由
，
得
（
不合题意，舍去）；
（Ⅱ）因为
（
），所以
．
当
时，
；当时，
．
因此，在
上单调递增，在
上单调递减．
因此，当
时，取得最大值
；
（Ⅲ）当时，
．由（Ⅱ）知：当时，
，即
．因此，有
．
21. 解：（Ⅰ）
，
，
；
（Ⅱ）依题意，得
，
，由此及
得
，
即
．
由（Ⅰ）可猜想：
（）．
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当
时，命题显然成立；
（2）假定当
时命题成立，即有
，则当
时，由归纳假设及
得
，即
，
解之得
（
不合题意，舍去），
即当时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立．
（Ⅲ）
．
令
（
），则
，所以在
上是增函数，故当
时，取得最小值，即当时，
．
（
，
）
，即
（）
．
解之得，实数的取值范围为
．