高三文科数学第二次模拟考试试题
一、本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知
，那么角
是（ ）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
2．函数
的反函数的定义域为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3．函数
的最小正周期是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4．椭圆
的焦点为
，
，两条准线与
轴的交点分别为
，若
，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
5．在等比数列
（
）中，若
，
，则该数列的前10项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若不等式组
表示的平面区域是一个三角形，则
的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．或
7．平面
平面
的一个充分条件是（ ）
Ａ．存在一条直线
Ｂ．存在一条直线
Ｃ．存在两条平行直线
Ｄ．存在两条异面直线
8．对于函数①
，②
，③
，判断如下两个命题的真假：
命题甲：
是偶函数；
命题乙：
在
上是减函数，在
上是增函数；
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③
9．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图1）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）
A．48米 B．49米 C．50米 D．51米
10．函数
的图象和函数
的图象的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
11．
是
的导函数，则
的值是 ．
12．若数列
的前
项和
，则此数列的通项公式为 ．
13．已知向量
．若向量
，则实数
的值是 ．
请考生在14，15两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
14．在极坐标系中，直线
的方程为
，则点
到直线的距离为 ．
15．如图2所示，圆
的直径
，
为圆周上一点，
，过作圆的切线，过
作的垂线
，垂足为
，则
．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若
，
，求b．
17．（本小题满分14分）
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
18．（本小题满分14分）
四棱锥
中，底面ABCD为平行四边形，侧面
底面ABCD，已知
，
，
，
．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．
19．（本小题满分14分）
设函数
在
及
时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的
，都有
成立，求c的取值范围．
20．（本小题满分12分）
设是等差数列，
是各项都为正数的等比数列，且
，
，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前n项和
．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆
的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且
，垂足为P．
（Ⅰ）设P点的坐标为
，证明：
；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．
2007-2008年高三文科数学第二次模拟考试试题
参考答案
一、选择题
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．B 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｃ 9．C 10．C
二、填空题
11．
12．
13．
14．2 15．30°
三、解答题
16．解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得
，所以
，
由
为锐角三角形得
．………………………………………………7分
（Ⅱ）根据余弦定理，得
．
所以，
．………………………………………………14分
17．解：（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少
位采用一次性付款”，则
表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．
，
．………………………………………………7分
（Ⅱ）记
表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过
元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．
则
．
，
．
．……………………………………14分
18．解法一：（1）作
，垂足为，连结
，由侧面
底面
，得
底面．
因为
，所以
，又
，故
为等腰直角三角形，
，
由三垂线定理，得
．………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
依题设
，
故
，由
，
，
．
又
，作
，垂足为
，
则
平面
，连结
．
为直线
与平面所成的角．
所以，直线与平面所成角的正弦值为
．………………………………………………14分
解法二：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，
．
如图，以为坐标原点，
为轴正向，建立直角坐标系
，
因为
，
，
又，所以
，
，
．
，
，
，
，所以．…………………7分
（Ⅱ）
，
.
与
的夹角记为
，与平面
所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．
，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．………………………14分
19．解：（Ⅰ）
，
因为函数在及取得极值，则有
，
．
即
解得
，
．………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，
．
当
时，
；
当
时，
；
当
时，．
所以，当时，取得极大值
，又
，
．
则当
时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以 
，
解得 
或
，
因此
的取值范围为
．………………………14分
20．解：（Ⅰ）设的公差为
，
的公比为
，则依题意有
且
解得
，
．
所以
，
．………………………6分
（Ⅱ）
．
，①
，②
②－①得
，
．………………………12分
21．证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距
，
由
知点
在以线段
为直径的圆上，
故
，
所以，
．………………………6分
（Ⅱ）（ⅰ）当
的斜率
存在且
时，的方程为
，代入椭圆方程，并化简得
．
设
，
，则
，
，
；
因为
与
相交于点
，且的斜率为
．
所以，
．
四边形的面积
．
当
时，上式取等号．………………………10分
（ⅱ）当的斜率
或斜率不存在时，四边形的面积
．……………………11分
综上，四边形的面积的最小值为
．………………………12分