高三理科数学第一学期期末考试
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上。
2．第小题选出答案后，用铅笔把题答卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
= （ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量
，则n= （ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．有关命题的说法错误的是 （ ）
A．命题“若
”的逆否命题为：“若
”
B．“x=1”是“
”的充分不必要条件
C．若
为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题
，则
4．三视图如右图的几何体的全面积是 （ ）
|
B．
C．
D．
5．已知函数
上的最大值是2，则
的最小值等于（ ）
A．
B．
C．2 D．3
6．设a,b是两个实数，且a≠b，①
②
，③
。上述三个式子恒成立的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．各项都是正数的等比数列
的公比
，且
成等差数列，则
的值
为 （ ）
A．
B．
C．
D．或
8．设
的图象画在同一个直角坐标系
|
9．已知
，若向区
域
上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 （ ）
A．
B． C．
D．
|
A．40种 B．50种 C．60种 D．70种
11．已知抛物线
有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B．
C．
D．
12．一次研究性课堂上，老师给出函数
，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数
；
乙：若
则一定有
；
丙：若规定
恒成立
你认为上述三个命题中正确的个数有 （ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
|
注意事项：
1．用0.5mm的中性笔答在答题纸相应的位置内。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．若
的值为
；
|
的右焦点为圆心，且与双曲线
的渐近线相切的圆的方程为
；
15．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，
其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积
V= ；
16．已知
1的展开式中的常数项为T，
是以T为周期的偶函数，且当
有4个零点，则实数k的取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，满分74分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。
17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知
。设B=x，△ABC的周长为y。
（1）求函数
的解析式和定义域；
（2）求的单调区间。
18．（本小题满分12分）甲、乙两人准备参加中央电视台组织的奥运志愿者选拔测试。已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中 的8道。规定每次考试都从备选题中随机抽出3道进行测试，至少答对2道才能入选。
（1）求甲答对试题数
的概率分布及数学期望。
（2）求甲、乙两人至少有一人入选的概率。
19．（本小题满分12分）已知数列
，设
，数列
。
（1）求证：
是等差数列；
（2）求数列
的前n项和Sn；
（3）若
一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。
|
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（3）求二面角C—PA—B的大小。
21．（本小题满分12分）已知椭圆
的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M
满足
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线L：y=
与椭圆恒有不同交点A、B，且
（O为坐标原点），求k的范围。
22．（本小题满分14分）定义
，
（1）令函数
的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O作曲线C1的切线，切点为B（n,t）（n>0），设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值。
（2）当
（3）令函数
的图象为曲线C2，若存在实数b使得曲线C2在
处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围。
参考答案
一、选择题
ADCAC BCDAB CA
|
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．解（1）：△ABC的内角为A+B+C=
由A=
……………………2分
由正弦定得知：
…………………………4分
……………………6分
因为y=AB+BC+AC
所以
……………………7分
（2）因为
……………………9分
而
…………………………11分
当
单调递增
当
单调递减
………………12分
18．解：（1）依题意，甲答对试题数的可能取值为0、1、2、3，则
…………………………4分
其分布列如下：
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
甲答对试题数的数学期望
E=0×
+1×
+2×
+3×
=
…………………………6分
（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
…………………………8分
因为事件A、B相互独立，
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
……………………12分
另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
答：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
19．解：（1）由题意知，
……………………1分
∴数列
的等差数列……………………4分
（2）由（1）知，
…………………………5分
于是
两式相减得
……………………8分
（3）
∴当n=1时，
当
∴当n=1时，
取最大值是
又
即
……………………12分
20．解法一：（1）∵PC⊥平面ABC，AB
平面ABC，
∴PC⊥AB。…………………………2分
∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，
∴OC⊥AB。………………………………4分
又PC
CD=C，
∴AB平面PCB。…………………………4分
（2）过点A作AF//BC，且AF=BC，连接PF，CF。
|
由（1）可得AB⊥BC,
∴CF⊥AF.
由三垂线定理，得PF⊥AF。
则AF=CF=
在Rt△PFA中，
∴异面直线PA与BC所成的角为
……………………8分
（3）取AP的中点E，连接CE、DE。
∵PC=AC=2，
∴CE⊥PA，CE=
。
∵CD⊥平面PAB。
由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA。
∴∠CED为二面角C—PA—B的平面角。……………………10分
由（1）AB⊥平面PCB，
又∵AB=BC，可求得BC=
在Rt△PCB中，PB=
在Rt△CDE中，
……………………12分
解法二：（1）同解法一。
（2）由（1）AB⊥平面PCB，
∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=
以B为原点，建立如图所示的坐标系。
|
，0），B（0，0，0），
C（，0，0），P（，0，2）。
……………………7分
则
∴异面直线AP与BC所成的角为
………………………………8分
（3）设平面PAB的法向量为
则
即
解得
令z=－1，得
设平面PAC的法向量为
则
解得
令
……………………10分
21．解：（1）设F1（－c,0），F2（c，0）
……………………………………………………2分
①
又点M在椭圆上
②
由①代入②得
整理为：
…………………………4分
∴椭圆方程为
…………………………5分
（2）由
………………7分
设
则
………………10分
……………………12分
22．解：（1）
，故A（0，9）……1分
又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B（n，t）（n>0），
…………3分
………………5分
（2）令
，…………6分
又令
，
单调递减.……………………7分
单调递减，………………8分
，
………………9分
（3）
设曲线
处有斜率为－8的切线，
|
∴存在实数b使得
有解，…………11分
由①得
代入③得
，…………12分
有解，得
，
………………14分