高三理科数学第一学期期末考试试题
数 学 试 题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，满分150分钟，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3、考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
球的表面积公式 球的体积公式
其中
表示球的半径
其中表示球的半径
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数
的定义域是
A． 
B．
C．
D．
2．已知
，则
等于
A．
B．
C．-7
D．7
3．已知直线
与直线
互相垂直，则实数
为
A．
B．0或
4．在等比数列
中，已知
，则
的值为
A．16
B．
5．在
中，已知
，那么一定是
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
6．设、
是两条不同的直线
、
、
是三个不同的平面，给出下列四个命题；①若
则
；②若
，则
；③若
，则
；④若
，则
。其中正确命题的个数是
A．0
B．
7．若奇函数
，满足
，则
等于
A．0
B．
D．
8．一个几何体的三视图如下所示，则该几何体的表面积是
A．
B．
C．
D．
9．函数
的图象大致形状是
10．如图，半圆的直径
为圆心，
是半圆上不同于
、
的任意一点。若
为半径
上的动点，则
的最小值是
A．2 B．0
C．-1 D．-2
11．已知实系数方程
的两个实根分别为
、
，且
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
12．若实数
、
满足
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1、第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔答在试题中（除题目有特殊规定外）。
2、答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。请据答案填在题中横线上。
13．在直角坐标平内面，由直线
和抛物线
所围成的平面区域的面积是__________________。
14．设
定义如下面读数表，
满足
，且对任意自然数均有
，则
的值为___________________。
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 4 | 1 | 3 | 5 | 2 |
15．已知点
在圆
，点关于直线
的对称点也在圆上，则
。
16．已知函数
，给出下列命题：
①不可能为奇函数；
②当
时，的图象必关于直线
对称；
③若
，则在区间
上是增函数；
④的最小值
，
其中正确命题的序号是_____________（把你认为正确的序号都填上）。
三、解答题：本大题共6个小题，满分74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知向量
，设函数
。
（Ⅰ）求的最小正周期与单调递减区间。
（Ⅱ）在中，
、
、
分别是角、、的对边，若
的面积为
，求的值。
18．（本小题满分12分）
已知命题
和是方程
的两个实根，不等式
对任意实数
恒成立；命题
不等式
有解；若命题
是真命题，命题
是假命题，求的取值范围。
19．（本小题满分12分）
如图，已知四棱柱
的底面
为直角梯形，
，
，侧面
为正方形，点为棱
的中点。
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值。
20．（本小题满分12分）
甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为
万元，乙超市第年的销售额比前一年销售客多
万元。
（Ⅰ）求甲、乙两超市第年销售额的表达式；
（Ⅱ）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年。
21．（本小题满分12分）
已知椭圆
过点
，且离心率
。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线
与椭圆交于不同的两点
、
，且线段
的垂直平分线过定点
，求
的取值范围。
22．（本小题满分14分）
设函数
，其中
。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当
时，证明不等式：
；
（Ⅲ）设的最小值为
，证明不等式：
；
参考答案
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答 案 | C | A | B | A | B | C | D | C | A | D | A | C |
二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分。
13．
14．4 15．
16．①③
三、解答题：本题共6个小题，共74分。
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
，
……3分
……4分
令
的单调区间为
……6分
（Ⅱ）由
得
又
为的内角
……8分
……8分
……12分
18．（本小题满分12分）
解：
、是方程的两个实根
……3分
∴当时，
……4分
由不等式
对任意实数
恒成立可得：
或
∴命题为真命题时
或……6分
命题
不等式
有解
①当
时，显然有解
②当
时，
有解……8分
③当
时，
有解
从而命题不等式有解时
……10分
又命题是假命题
……11分
故命题是真假题且命题是假命题时，的取值范围为
……12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图：延长
、
相交于
，连结
。
∵点为的中点
故
又且
从而四边形
为平行四边形……2分
又
故四边形
是平行四边形……4分
从而
又
平面
……5分
（Ⅱ）取
的中点
，连结
平面
又为的中点且
故
平面
……7分
过作
于
，连结
，则
。
为二面角
的平面角……9分
在正
中，
为的中点，
为直角三角形
设
从而
，
在
中，
……11分
从而，
……12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设甲、乙超市第年销售额分别为
，又设甲超市前年总销售额为
，
则
。
因
时，
，
当
时，
，
故
……3分
又因
时
，……4分
故
。
显然也适合，故
。……7分
（Ⅱ）当
时，
，有
；
时，
，有
；
当
时，
，而
，故乙超市有可能被收购。……9分
当时，令
，
则
，
即
。……10分
又当
时
，
故当
且时，必有
。
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购。……12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率。
∴椭圆方程为
……2分
又点在椭圆上
∴椭圆的方程为
……4分
（Ⅱ）设
由
消去并整理得
……6分
∵直线
与椭圆有两个交点
，即
①……7分
又
中点的坐标为
……8分
设的垂直平分线
方程：
在上
即
……10分
将上式代入①得
即
或
的取值范围为
……12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得函数的定义域为
，且
，
，解得
……2分
当变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
| - | 0 | + |
|
| ↘ | 极小值 | ↗ |
由上表可知,当
时，
，函数在
内单调递减，……3分
当
时，
，函数在
内单调递增，……4分
所以,函数的单调减区间是,函数的单调增区间是。……5分
（Ⅱ）设
。
对
求导，得：
。……7分
当
时，
，所以在
内是增函数。所以在
上是增函数。
当时，
，即
。……9分
同理可证
＜x。……9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
，……11分
将代入，
得: 
即:1＜(a+1)
，……13分
，即。……14分
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