高三数学第一学期期末联考试卷（理科）
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设A、B为两个非空子集，定义：
,若A={0，2，5}, B={1，2，6}，则A+B子集的个数是 （ ）
A、29 B、28 C、27 D、26
2、
是虚数单位，复数
等于（ ）
A、
B、
C、
D、
3、将
的图象按向量
，
）平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）。
A、
B、
C、
D、
4、已知直线
、
及平面
，下列命题中的真命题是（ ）
A、若
，
，则∥ B、若∥，，则∥
C、若∥
，∥，则∥ D、若，
，则∥
5、若以连续掷两次骰子分别得到的点数、作为点P的横、纵坐标，则点P在直线
下方的概率是（ ）
A、
B、
C、
D、
6、2002年8月在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为
，
的值等于（ ）
A、1 B、
C、
D、－
7、函数
的图象大致是（
）
8、在
的展开式中含有常数项，则正整数的最小值是（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
9、椭圆
（
＞
＞
）的离心率为
，右焦点为F（
，），方程
的两个实根分别为
，
，则点
（ ）
A、必在圆
内 B、必在圆上
C、必在圆外 D、以上三种情形都有可能
10、定义运算：
,如
，则函数
的值域为（
）
A、
B、
C、
D、
第II卷（非选择题100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。把答案填在题目中横线上。
11、若已知随机变量§的分布列为
| § | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| p | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
| 0.1 |
则
＝ E§＝
12、若
，
，
（
，4 ），
∥
，则的值是
。
13、在数列
中，若
，
，
则该数列的通项
＝ 。
14、在
的二面角内，放一个半径为10cm的球切两半平面于A、B两点，那么两切点在球面上的最短距离是
。
15、双曲线
（＞0，＞）的离心率为2，有一个焦点与抛物线
的焦点重合，则
的值为 。
16、 在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2008时对应的指头是 。
(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、
无名指、小指).
17、任取集合
，
，
，，……，14}中的三个不同数
，
，
，且满足
≥3，
≥2，则选取这样的三个数方法种数共有
。（用数字作答）
三、解答题：本大题共5小题，共72分，写出文字说明，证明或演算步骤。
18、（本小题满分14分）已知：A、B、C是△ABC的三个内角，向量
，
），
，
），且
。
（1）求角A。
（2）若
，求
。
19、（本小题满分14分）右图是一个直三棱柱（以
为底面），被一平面所截得的几何体，截面为ABC。已知
，∠
，
，
，
（I）设点O是AB的中点，证明：
∥平面
（II）求AB与平面
所成角的大小。
20. (本小题满分14分)已知函数
(a为实常数)． (1) 当a =
0时，求函数
的最小值；
(2) 若函数在
上是单调函数，求a的取值范围。
21、（本小题满分15分）如图，P是抛物线
：
上一点，直线
过点P且与抛物线C交于另一点Q。
（1）若直线与过点
的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。
（2）若直线不过原点且与轴交于点
，与
轴交于点
，试求
的取值范围。
22、（本小题满分15分）
已知函数
满足
，
，
；且使
成立的实数只有一个。
（Ⅰ）求函数
的表达式；
（Ⅱ）若数列
满足
，
，
，
，证明：数列
是等比数列，并求出的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：
，。
数学答题卷（理科）
一、选择题（每题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 |
二、填空题（每题4分，共28分）
11、 12、
13、 14、
15、 16、
17、
三、解答题（本大题共有5小题）
18、（本小题满分14分）已知：A、B、C是△ABC的三个内角，向量，），，），且。
（1）求角A。
（2）若，求。
19、（本小题满分14分）右图是一个直三棱柱（以为底面），被一平面所截得的几何体，截面为ABC。已知，∠，，，
（I）设点O是AB的中点，证明：∥平面
（II）求AB与平面所成角的大小。
20、
(本小题满分14分)已知函数(a为实常数)．
(1)当a =
0时，求函数的最小值；
(2)若函数在上是单调函数，求a的取值范围。
21、（本小题满分15分）如图，P是抛物线：上一点，直线过点P且与抛物线C交于另一点Q。
（1）若直线与过点的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。
（2）若直线不过原点且与轴交于点，与轴交于点，试求的取值范围。
22、（本小题满分15分）
已知函数满足，，；且使成立的实数只有一个。
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）若数列满足，，，，证明：数列 是等比数列，并求出的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：，。
参考答案
1．B 2．A 3．A 4．D 5．C 6．D 7．D 8．B 9．A 10．C
11.0.3 2.1
12．
13．
14。 
cm 15． 
16．食指
17.165
18.解：（1）∵
，
且，
∴
…………………………（3分）
∴
即
……………………………………（5分）
∵ 
∴
………………………………………………（7分）
（2）由题意，得
∴
即
∴
………………………………………………10分
∵
∴
………………………………14分
19.解: 
（Ⅰ）证明：作
交
于
，连
．
则
，
因为
是
的中点，
所以
．
则
是平行四边形，因此有
，
平面
，且
平面
则
面．
……………….7分
（Ⅱ）解：如图，过
作截面
面，分别交，于
，
，
作
于
，
因为平面
平面
，则
面．
连结
，则
就是与面所成的角．
因为
，
，所以
．
与面所成的角为
．……………….14分
解法二：
（Ⅰ）证明：如图，以
为原点建立空间直角坐标系，则
，
，
，因为是的中点，所以
，
，
易知，
是平面的一个法向量．
由
且平面知平面．
……………….7分
（Ⅱ）设与面所成的角为．
求得
，
．
设
是平面的一个法向量，则由
得
，
取
得：
．
又因为
所以，
，
则
．
所以与面所成的角为
．……………….14分
20． 解:(1)a = 0时，
…………………………………..2分
当0＜x＜1时
，
当x＞1时
，…………………………………………..5分
∴
…………………………………………….7分
(2)
当a≥0时，
在[2，＋∞)上恒大于零，即，符合要求；…… 10分
当a＜0时，令
，g (x)在[2，＋∞)上只能恒小于零
故△＝1＋4a≤0或
，解得：a≤
∴a的取值范围是
……………………………………………14分
21、解：（1）设
，
，
，依题意
，
，
，
由已知可得 ① 
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
∴过点P的切线的斜率
，∵，
∴直线的斜率
，
∴直线的方程为
②。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
[解法一] 联立①②消去，得
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
∵M是PQ的中点，
∴
，消去，得
，
∴PQ中点M的轨迹方程为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
[解法二]由
，
，
，得
。。。。。。。。。。。。。。。5分
则
， ∴
，
将上式代入②并整理，得，
∴PQ中点M的轨迹方程为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
（2）设直线
，依题意
，则
。
分别过P、Q作
轴，
轴，垂足分别为P＇、Q＇，则
。
由
消去x，得
③。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
[解法一] ∴
≥
=
。
∵y1、y2可取一切不相等的正数，
∴
的取值范围是（2，+
）.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 15分
[解法二]∴=
=
。
当b＞0时，
＞；
当b＜0时，
。
又由方程③有两个相异实根，得△
，
于是
，即
。
∴
。
∵当
时，
可取一切正数，
∴的取值范围是（2，+）.
∴的取值范围是（2，+）.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15分
22．（解：（Ⅰ）由，
，，得
.………1分
由，得
.……………………………………………………………2分
由只有一解，即
，也就是
只有一解，
∴
∴
.…………………………………………………………………………………4分
∴
.故
.……………………………………………………………5分
（Ⅱ）∵
，，∴
，
，
，……………………………6分
猜想，
.……………………………………………………………7分
下面用数学归纳法证明：
10 当n=1时，左边=，右边=
，∴命题成立. ……………………8分
20 假设n=k时，命题成立，即
；当 n=k+1时，
，
∴当 n=k+1时，命题成立. ……………………………………………………………10分
由10，20可得，当时，有
.∵
，∴
∴是首项为
，公比为的等比数列，其通项公式为
.……………11分
（Ⅲ）∵
，
∴
…………………………13分
.………………………………15分
温八中 刘洪钊