高三第三次调研考试数学试题
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一．选择题：本大题共l0小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分50分．
1．设集合
，则满足
的集合B的个数是（ ）。
A．1 B．3 C．4 D．8
2．如果复数
为纯虚数，那么实数
的值为（ ）。
A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2
3. 已知等差数列{an}中，a2+a8=8，则该数列前9项和S9等于（ ）。
A．18 B．27
C．36 D．45
4．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，
则它的体积的最小值与最大值分别为（ ）。
A．
与
B．
与
C．与
D．与
5．若函数
的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
| f (1) = －2 | f (1.5) = 0.625 | f (1.25) = －0.984 |
| f (1.375) = －0.260 | f (1.4375) = 0.162 | f (1.40625) = －0.054 |
那么方程
的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
6.“m=
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的（ ）。
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．.必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．下图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）。
A．
，
B．，
C．
， D．，
8．定义运算a
b=
，则函数f(x)=12
的图象是（ ）。
9．若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则
的值为（ ）。
A．
B．
C．
D．
10．已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f (x)又是减函数，且f (a－3)+f (9－a2)<0，则a的取值范围是（ ）。
A．(2
，3)
B．(3，
) C．(2，4) D．(－2，3)
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二．填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．
11．右面是一个算法的程序框图，当输入的值
为5时，
则其输出的结果是 ．
12．下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，
数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影
部分的面积为 ．
13．设向量
与
的夹角为
，
，
，
则
．
14．(坐标系与参数方程选做题)直线
被圆
所截得的弦长为
．
15．(几何证明选讲选做题)如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为_______________．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．
16.（本题满分12分）
将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（I）共有多少种不同的结果？
（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？
（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是多少？
17.（本题满分14分）
已知函数
（I）求函数
的最小正周期；
（II）求函数
的值域.
18．（本小题满分14分）
如图，P—ABCD是正四棱锥，
是正方体，
其中
（1）求证：
；
（2）求PA与平面
所成角的余弦值；
19. (本小题满分14分)
数列{an}的前n项和记为Sn，
（I）求{an}的通项公式;
（II）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且
，又
成等比数列，求Tn
20．（本小题满分14分）
已知圆
：
.
（1）直线
过点
，且与圆交于
、
两点，若
，求直线的方程；
（2）过圆上一动点
作平行于轴的直线
，设与
轴的交点为
，若向量
，求动点
的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
21.(本小题满分12分)
已知函数
在
是增函数,
在(0,1)为减函数.
（I）求
、
的表达式；
（II）求证:当
时,方程
有唯一解；
(III）当
时,若
在∈
内恒成立,求
的取值范围.
高三第三次调研考试数学试题
参考答案（文科卷）
一、选择题
| 题号 |
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| 答案 |
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|
1.C解：，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有
个。故选择答案C。
2．A 解： 
即 
，故选择答案A
3.C 解：在等差数列{an}中，a2+a8=8，∴ 
，则该数列前9项和S9=
=36，
故选择答案C
4.C 提示：由三视图可知选C
5.C 解：f(1.40625)=－0.054< 0，f(1.4375)=0.162> 0 且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。
6.B 解：当
时两直线斜率乘积为
，从而可得两直线垂直，当
时两直线一条斜率为0，一条斜率不存在，但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.
7.C 解：5个有效分为84，84，86，84，87；其平均数为85。利用方差公式可得方差为1.6．
8.A 提示：信息迁移题是近几年来出现的一种新题型，主要考查学生的阅读理解能力．本题综合考查了分段函数的概念、函数的性质、函数图像，以及数学阅读理解能力和信息迁移能力．
当x＜0时,2x＜1, f(x) =2x； x＞0时,2x＞1, f(x) =1． 答案：A
9.D 解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则
，故选D。
10.A 提示
由条件得f(a－3)＜f(a2－9)，即
∴a∈(2,3)
故选择答案A
二．填空题：
| 题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 答案 | 2 |
|
|
| 2 |
11.解：当x=-1时,即输出,此时
.
12.解：解利用几何概型
。
13.解：设向量与的夹角为
且
∴
，则
=
.
14. 解：把直线
代入
得
，弦长为
15. 解：设圆的半径为R,由
得
解得R=2
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．
16.解: （I） 共有
种结果 ………………4分
（II） 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有：
（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），
（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）
共12种． ………………8分
（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝
…………12分
17.解：
……………………………3分
……………………………6分
（I）函数的最小正周期是
……………………………8分
（II）∴
∴
……………………………10分
∴ 
…………12分
所以的值域为：
…………14分
18、解：（1）设AC与BD交点为O，连PO；∵P—ABCD是正四棱锥，∴PO⊥面ABCD，…1分
∴AO为PA在平面ABCD上的射影， 又ABCD为正方形，∴AO⊥BD，…………3分
由三垂线定理知PA⊥BD，而BD∥B1D1；∴…………………………6分
（2）∵AO⊥面PBD，连PO，则∠APO为所求角；……………………………8分
可以计算得，
…………………………………………………………14分
19．（I）由
可得
，
………………1分
两式相减得
………………3分
又
∴
，故{an}是首项为1，公比为3得等比数列 ……4分
∴
.
………………………………………………………6分
（II）设{bn}的公差为d，由得，可得
，可得
， ………8分
故可设
………………9分
又
由题意可得
解得
………………………………11分
∵等差数列{bn}的各项为正，∴
，∴
…………………………12分
∴
…………………………………………………14分
20. 解（Ⅰ）①当直线
垂直于
轴时，则此时直线方程为
，与圆的两个交点坐标为
和
，其距离为
，满足题意…………………… 2分
②若直线不垂直于轴，设其方程为
，
即
…………………………………………………… 3分
设圆心到此直线的距离为
，则
，得
∴
，
，
故所求直线方程为
……………………………………5分
综上所述，所求直线为或 …………………… 6分
（Ⅱ）设点
的坐标为
，
点坐标为
则
点坐标是
…………………… 7分
∵
，
∴
即
，
……………………9分
又∵
，∴
…………………………… 10分
由已知，直线m //ox轴，所以，
，…………………………… 11分
∴点的轨迹方程是
，…………………… 12分
轨迹是焦点坐标为
，长轴为8的椭圆，并去掉
两点。…………………… 14分
21.解: （I）
依题意
,即
,
.
∵上式恒成立,∴
①
…………………………1分
又
,依题意
,即
,
.
∵上式恒成立,∴
②
…………………………2分
由①②得
.
…………………………3分
∴
…………………………4分
（II）由(1)可知,方程,
设
,
令
,并由
得
解知
……………………5分
令
由
…………………………6分
列表分析:
|
| (0,1) | 1 | (1,+¥) |
|
| - | 0 | + |
|
| 递减 | 0 | 递增 |
知
在
处有一个最小值0,
…………………………7分
当
时,＞0,
∴
在(0,+¥)上只有一个解.
即当x＞0时,方程
有唯一解.
…………………………8分
（III）设
, ……………………9分
在
为减函数
又
……………11分
所以：
为所求范围.
…………………………12分