08届高三(理科)数学摸底测试试题
第一部分 选择题 (共40分)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 复数
的虚部为（ ）
. 4 
.—4 
. 
. 
2．
设集合
，
，那么“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3． 若曲线
所围成的图形的面积为2e,则k的值为（ ）
. e .
.1 .2
4. 
辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图
如右图所示，时速在
的汽车大约有
.
辆 . 
辆 .
辆 .80辆
5．已知不等式
，则
的解集为（ ） 
6 已知函数
，则
的极小值为（ ）
A．
B。
C。
D。
7．
已知函数
的图象与
的图象在
轴的右侧交点按从横坐标由小到大的顺序记为
，则
＝
. 
. 
.
.
8. 若定义在R上的减函数
,对于任意的
,不等式
成立.且函数
的图象关于点
对称,则当 
时,
的取值范围
.
. 
.
.
第二部分 非选择题(共110分)
二.填空题：每小题5分, 共30分.
9. 
的离心率等于__________,与该椭圆有
共同焦点，且一条渐近线是
的双曲线方程是
___________________.
10. 运行右边算法流程，当输入x的值为_____时，输出的值为4。
11. 下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸，
它的体积为 .
12. 设
是等比数列
的前
项和, 对于等比数列,有命题
若
成等差数列,则
成等差数列成立；对于命题
：若
成等差数列, 则
________________成等差数列.请将命题补充完整,使它也是真命题.(只要一个符合要求的答案即可)
选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分.
13. 若不等式
无实数解则a的取值范围是 .
14.在直角坐标系
中，已知曲线的参数方程是
（
是参数），若以
为极点，
轴的正半轴为极轴，则曲线的极坐标方程可写为________________.
15. 已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3， BD＝6，则PB＝ ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)
如图,在
中,
.
(Ⅰ)求
;
(Ⅱ) 记
的中点为,求中线
的长.
17．（本小题满分12分）
袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用
表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量的概率分布与数学期望
18. (本题满分14分)
如图,在四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,侧面
底面，且
,若
、
分别为
、
的中点.
(Ⅰ) 
//平面；
(Ⅱ) 求证:平面
平面；
(Ⅲ) 求二面角
的正切值.
19. (本题满分14分)
设椭圆
的左、右焦点分别为
是椭圆上的一点，
，原点
到直线
的距离为
．
（Ⅰ）证明
；
（Ⅱ）设
为椭圆上的两个动点，
，过原点作直线
的垂线
，垂足为，求点的轨迹方程．
20. (本题满分14分)
已知函数
，若对任意
，
且
，都有
．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）对于给定的实数，有一个最小的负数
，使得
时，
都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值．
21. (本题满分14分)
在数列中，
，其中
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在
，使得
对任意
均成立．
08届高三(理科)数学摸底测试试题
数学(理)试题答题卷
第二部分 非选择题答题卷
二、填空题（每小题5分，共30分）：
9.___________，___________；10.___________；11.______________________；
12._____________________；13._____________________；
14．____________________；15._____________________
三、解答题：（共80分，要求写出解答过程）
16.(本小题满分12分)
17.(本小题满分12分)
18.(本小题满分14分)
19.(本小题满分14分)
20.(本小题满分14分)
21.(本小题满分14分)
08届高三(理科)数学摸底测试试题答案
一、选择题答案 ABCCD ABD
二、填空题 9. 
，
(第一空2分，第二空3分)， 10. 3， 11. 8，
12. 
开放题，答案不唯一. 13.
，14. 
, 15. 15
三、解答题
16.(本题满分12分)
解: (Ⅰ)由
, 是三角形内角，得
……………..2分
∴ 
………………………………………..5分
…………………………………………………………6分
(Ⅱ) 在
中,由正弦定理，
，
…………………………………………………………………………………………………..9分
, ,
由余弦定理得:
=
…………………………………12分
17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查互斥事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查分类与整合、或然与必然的数学思想与方法，以及运算求解能力）
（Ⅰ）解法一：记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件，
∵从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有
种，
……1分
其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有
，
……3分
∴
．
……4分
解法二：记“取出的2个小球上的数字互不相同”的事件记为，“取出的2个小球上的数字相同”的事件记为，则事件与事件是对立事件．
∵
，
……2分
∴
．
……4分
（Ⅱ）解：由题意，所有可能的取值为：2，3，4，5，6．
……6分
，
，
，
，
．
故随机变量的概率分布为
|
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
|
|
|
|
|
|
……10分
因此，的数学期望
．……12分
解: (Ⅰ)设事件表示“甲选做14题”,事件表示“乙选做14题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“
”,且事件、相互独立…………………………..2分
∴ 
………………………………..4分
=
………………………………6分
(Ⅱ)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4.且
.
∴ 
………………….8分
所以变量的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
|
|
|
|
|
…………………………………………………………………………………………….10分
或
…………..12分
18.(本题满分14分)
(Ⅰ)证明：连结
，在
中//
………………………………………………………………..2分
且
平面，
平面
…………………………………………………………………………………………………….4分
(Ⅱ)证明：因为面面 平面
面
所以，
平面 
………………………………………………………………………6分
又，所以
是等腰直角三角形，且
即
…………………………………………………………………………………………………………………….8分
，且
、
面
面
又
面 面
面……………………………………………………………..10分
(Ⅲ)解：设的中点为
,连结
,
,则
由(Ⅱ)知
面, 
面
是二面角的平面角……………………………………….12分
中，
故所求二面角的正切值为
……………………………….14分
另解：如图,取的中点, 连结
,
.
∵
, ∴
.
∵侧面底面,
,
∴
,
而
分别为
的中点,∴
,又是正方形,故
.
∵,∴,
.
以为原点,直线
为
轴建立空间直线坐标系,则有
,
,
,
,
,
.
∵为的中点, ∴
.
（Ⅰ）易知平面的法向量为
而
,
且
, ∴ //平面.
(Ⅱ)∵
,
∴
,
∴
,从而
,又,
,
∴
,而
, ∴平面平面
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的法向量为.
设平面
的法向量为
.∵
,
∴由
可得
,令
,则
,
故
∴
,
即二面角的余弦值为
,二面角的正切值为.
19.(本题满分14分)
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及
，
，不妨设点
，其中
．由于点在椭圆上，有
，即
．
解得
，从而得到
．
直线的方程为
，整理得
．
由题设，原点到直线的距离为，即
，
将
代入上式并化简得
，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为
．
过点作
，垂足为，易知
，故
．
由椭圆定义得
，又
，
所以
，
解得
，而
，得
，即．
（Ⅱ）解法一：设点的坐标为
．
当
时，由
知，直线的斜率为
，所以直线的方程为
，或
，其中
，
．
点
的坐标满足方程组
将①式代入②式，得
，
整理得
，
于是
，
．
由①式得
．
由知
．将③式和④式代入得
，
．
将
代入上式，整理得
．
当
时，直线的方程为
，的坐标满足方程组
所以
，
．
由知，即
，
解得
．
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为 
．
解法二：设点的坐标为，直线的方程为
，由，垂足为，可知直线的方程为
．
记
（显然
），点的坐标满足方程组
由①式得
． ③
由②式得
． ④
将③式代入④式得
．
整理得
，
于是
． ⑤
由①式得
． ⑥
由②式得
． ⑦
将⑥式代入⑦式得
，
整理得
，
于是
． ⑧
由知．将⑤式和⑧式代入得
，
．
将代入上式，得．所以，点的轨迹方程为．
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识）
解：（Ⅰ）∵
，
……2分
∵，∴
．∴实数的取值范围为
．
……4分
（Ⅱ）∵
，
显然
，对称轴
．
……6分
（1）当
，即
时，
，且
．
令
，解得
，
此时取较大的根，即
，
∵，∴
．
……10分
（2）当
，即
时，
，且
．
令
，解得
，
此时取较小的根，即
，
∵，∴
．
……13分
当且仅当
时，取等号．
∵
，∴当时，取得最小值－3．
……14分
21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解法一：
，
，
．
由此可猜想出数列的通项公式为
．
以下用数学归纳法证明．
（1）当
时，
，等式成立．
（2）假设当
时等式成立，即
，
那么
．
这就是说，当
时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．
解法二：由
，，
可得
，
所以
为等差数列，其公差为1，首项为0，故
，所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）解：设
， ①
②
当
时，①式减去②式，
得
，
．
这时数列的前项和
．
当
时，
．这时数列的前项和
．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列
的第一项
最大，下面证明：
． ③
由知
，要使③式成立，只要
，
因为
．
所以③式成立．因此，存在
，使得
对任意均成立．