08届高三年级文科数学第三次质量检测试卷
数学(文科)试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分， 第Ⅰ卷为1－10题，共50分，第Ⅱ卷为11－21题，共100分.全卷共计150分。考试时间为120分钟.
注意事项：
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么
如果事件、相互独立，那么
球的表面积公式 
球的体积公式 
其中
表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．Ｍ＝
，Ｎ＝
，则集合Ｍ
Ｎ＝( ).
A.{
} B.{
} C.{
} D. {
}
2. 复数
的值是( ).
A．2
B. 
C.
D.
3. 已知
，
，
，则向量
在向量
上的投影为（ ）.
A
B
C
D
4. 方程
上有解，则
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．“
”是“直线
与直线
相互垂直”的（ ）
A
充分必要条件 B
充分而不必要条件
C
必要而不充分条件 D
既不充分也不必要条件
6. 等差数列
中，
是前n项和，且
，则
的值为( ).
A.
B
C.
D
7. 为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象( ).
A.向右平移
个单位
B.向右平移
个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
8.若椭圆
的离心率
,则
的值为( ).
A.
B.
或
C.
D.或
9. 在棱长为的正方体
中，点
，
分别是棱
，
的中点，则点
到平面
的距离是( ).
A.
B.
C.
D.
10．10.定义
的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是
（1） （2） （3） （4） （A） （B）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ部分（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中14，15题是选做题，考生只能选做一题,，若两题全都做的，只计算前一题的得分．
11. 函数
的单调递减区间是
.
12.甲、乙两人独立的解决一个问题，甲能解决这个问题的概率为
，乙能解决这个问题的概率为
，那么甲乙两人中至少有一人解决这个问题的概率是
.
13．设
、
满足条件
，则
的最小值
.
14．(坐标系与参数方程选做题)自极点
向直线
做垂线，垂足为
，则直线的极坐标方程是 .
15．(几何证明选讲选做题)已知圆的直径
，
为圆上一点，过作
于
（
），若
，则
的长为
.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分) 在
中，
，
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若边的长为
，求边的长
17．（本小题满分13分）如图,在直三棱柱
中, 
, 
, 
, 
, 点是的中点.
(1)求证:
;
(2)求证:
∥平面
.
18.(本小题满分13分)设数列
的前
项和为
，点
均在函数
的图像上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设
，
是数列
的前项和，求使得
对所有
都成立的最小正整数.
19.(本小题满分14分)已知圆过点
, 且在轴上截得的弦
的长为
.
(1) 求圆的圆心的轨迹方程；
(2) 若
, 求圆的方程.
20.(本小题满分14分）已知函数
,
（Ⅰ）若函数
的最小值是
，且
，求
的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，
在区间
恒成立，试求
的取值范围；
（Ⅲ）令
,若
,又的图象在轴上截得的弦的长度为，且
，试确定
的符号.
21.(本小题满分14分）已知函数
，其中
．
（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）当
时，求函数的单调区间与极值．
参考答案
一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| C | A | A | C | B | A | B | D | D | B |
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中14，15题是选做题，考生只能选做一题,，若两题全都做的，只计算前一题的得分．
11.(2,+∞) 12.
13. 4 14.
15. 9
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）∵
， ………………1分
∴ 
………………4分
又 ∵ 
， ∴ 
…………………5分
（Ⅱ）由
且
，…………………7分
得
…………………………9分
由正弦定理 
， 得
……………………12分
17．（本小题满分13分）
证明: (1) ∵ 三棱柱为直三棱柱,
∴ 
平面
, ∴
,
∵ , , ,
∴ 
,
∴ 
, 又 
,
∴ 
平面
,
∴ ……………………………………7分
(2) 令
与
的交点为, 连结
.
∵ 是的中点, 为的中点, ∴ ∥.
又 ∵
平面, 
平面,
∴∥平面. ………………………13分
18.(本小题满分13分)
解: (1) 由题意得 
, 即 
,…………………1分
当
时 , 
,…………4分
当
时, 
, ………………5分
∴ 
, ……………………6分
(2) 由(1)得
,…………………8分
∴ 
. ……………………11分
因此,使得
成立的必须且只需满足
, 即
,
故满足要求的的最小正整数
………………13分
19.(本小题满分14分)
解: (1)设圆的圆心为
,
依题意圆的半径 
……………… 2分
∵ 圆在轴上截得的弦的长为.
∴ 
故 
…………………………
4分
∴
∴ 圆的圆心的轨迹方程为 ………………… 6分
(2) ∵
, ∴ 
……………………… 9分
令圆的圆心为
, 则有
(
) ,…………… 10分
又
∵ 
…………………… 11分
∴ 
……………………… 12分
∴ 
………………………
13分
∴ 圆的方程为 
…………………… 14分
21.(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）由已知
解得，
，
…………………2分
∴ 
, ∴ 
…………4分
∴ 
. ……………………5分
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，在区间恒成立,即
在区间恒成立,
从而
在区间上恒成立，…………………8分
令函数
,
则函数在区间上是减函数，且其最小值
，
∴ 的取值范围为
…………………………10分
（Ⅲ）由，得
，
∵
∴
,………………11分
设方程
的两根为
，则
,
,
∴
,
∵
， ∴ 
, ∴
，
∵
且
， ∴ 
，
∴
……………14分
21.(本小题满分14分)
解: （Ⅰ）解：当时，
，
，……………1分
又
，则
．…………………3分
所以，曲线在点处的切线方程为
，
即
．……………4分
（Ⅱ）解：
．…………6分
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令
，得到
，
,
当变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
|
|
| 极小值 |
| 极大值 |
|
所以在区间
,
内为减函数，在区间
内为增函数
故函数在点处取得极小值
，且
，
函数在点处取得极大值
，且
．…………………10分
（2）当
时，令，得到
，
当变化时，的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
所以在区间
,
内为增函数，在区间
内为减函数．
函数在
处取得极大值，且．
函数在
处取得极小值，且．………………14分