高三文科数学第一学期期中考试试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）
以下提供的公式供解题时参考：http://www.mathedu.cn
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.http://www.mathedu.cn
1．集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．“
”是“
”的 （ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数
的定义域是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知等差数列
中，
，则前10项的和
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知定义在
上的奇函数
满足
，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知数列满足
，
，则
的值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．设函数
，若
，则关于
的方程
的解的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
9．设
，则
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
的定义域为
，值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．定义新运算
为：
，例如
，则函数
的值域为 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．设
是定义在上以6为周期的函数，在
内单调递减，且
的图象关于直线
对称，则下面正确的结论是 （ ）
A．
B．
C．
D．
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二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．若
，则不等式
的解集为______________________。
14．已知向量
，且
三点共线，则
________。
15．已知
在
上是关于的减函数，则实数
的取值范围是_________________。
16．设数列
的前
项和为
，关于数列有下列三个命题：
①若既是等差数列又是等比数列，则
；
②若
，则是等差数列；
③若
，则是等比数列.
这些命题中，真命题的序号是_________________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数
.
（1）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；
（2）函数的单调增区间。
18．（本小题满分12分）甲、乙两班各派
名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为
，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：
（1）甲、乙两班参赛同学中各有
名同学成绩及格的概率；
（2）甲、乙两班参赛同学中至少有名同学成绩及格的概率。
19．（本小题满分12分）
如图，四面体
，
分别是
的中点，
，
（1）求证：
平面
；
（2）求异面直线
与
所成角的大小；
（3）求点
到平面
的距离。
20．（本小题满分12分）统计数据表明，
型号的汽车在匀速行驶中每小时的油耗量
关于行驶速度
的函数解析式可以表示为：
。已知甲、乙两地相距
.
（1）当汽车以
的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少？最少为多少升？
21．（本小题满分12分）
已知函数
在
与
时都取得极值.
（1）求
的值；
（2）若对
，不等式
恒成立，求
的取值范围。
22．（本小题满分14分）
已知数列满足
，且
时，
（1）证明数列
是等比数列；
（2）求数列的通项公式
；
（3）求数列的前项和
。
参考答案
| 一、选择题：每小题5分，共60分
| 二、填空题：每小题4分，共16分
|
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三、解答题（共74分）
17．解：（1）
当
,即
时, 取得最大值
.
函数的取得最大值的自变量的集合为
.
（2）
由题意得: 
即: 
因此函数的单调增区间为
.
18．解：（1）解：甲班参赛同学中恰有1人成绩及格的概率为
,乙班参赛同学中恰有1人成绩及格的概率为，
所以甲、乙两班参赛同学中各有1人成绩及格的概率为
.
（2）甲、乙两班参赛同学中成绩都不及格的概率为
所以甲、乙两班参赛同学中至少有1人成绩及格的概率为
.
答：略。
19．解：（1）证明：连结OC 
在
中，由已知可得
而
即
平面.
（2）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在
中，
是直角斜边AC上的中线，
异面直线AB与CD所成角的大小为
法二：解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
异面直线AB与CD所成角的大小为
（3）解：设点E到平面ACD的距离为
在
中，
而
点E到平面ACD的距离为
法二：设平面ACD的法向量为
则
令
得
是平面ACD的一个法向量。
又
点E到平面ACD的距离
20．解：（1）当
时，汽车从甲地到乙地行驶了
小时，
要耗油
（升）。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
小时，设耗油量为
升，
依题意得
令
得
当
时，
是减函数；当
时，
是增函数。
当
时，取到极小值
因为在
上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
21．解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（
）＝
，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得
a＝
，b＝－2
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
| x | （－¥，－ | － | （－ | 1 | （1，＋¥） |
| f¢（x） | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f（x） | | 极大值 | ¯ | 极小值 | |
所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－
）与（1，＋¥），递减区间是（－，1）.
（2）f（x）＝x3－
x2－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝
＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）<c2（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c 解得c<－1或c>2.
22．解：（1）依题意得：当时，
是等比数列，首项为1，公比为2.
（2）所以
即：
是等差数列，首项为，公差为
（3）依题意得：
两式相减得：
整理得：