高三文科数学第一学期期末考试试题

高三文科数学第一学期期末考试试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。http://www.mathedu.cn

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试题卷上。

3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合M={－1，0，1}，N={a，a²}，则使成立的a的值是　　　　　　　　　（　　）

　　　　 A．－1　　　　　　　　　　　　　　B．0　　　　　　　　　　　　　　　　C．1　　　　　　　　　　　　　　　　 D．－1或1

2．设是定义在R上的函数，均为偶函数”是“为偶函数”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　　 A．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．充分不必要条件　

　　　　 C．必要不充分条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．既不充分又不必要条件

3．问题：①某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了了解购买力的某项指标，要从中抽出一个容量为100户的样本；②从10名学生中抽出3人参加座谈会。

　　方法：Ⅰ随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法。

　　问题与方法配对正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　　 A．①Ⅲ，②Ⅰ　　　　　 B．①Ⅰ，②Ⅱ　　　　　 C．①Ⅱ，②Ⅲ　　　　　　D．①Ⅲ，②Ⅱ

4．将改写成全称命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　　 A．

　　　　 B．

　　　　 C．

　　　　 D．

5．圆对称的圆的方程是　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

6．已知等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

7．设为可导的奇函数，且　　　　　　　　　　　（　　）

　　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　　　　 C．－　　　　　　　　　　　　　D．－

8．已知成等差数列，则M（x，y）的轨迹为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

9．一个口袋内有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出一个白球的概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　D．

1,3,5

10．若平面，则下列命题中的假命题为　（　　）

　　　　 A．过点P垂直于平面的直线平行于平面

　　　　 B．过点P在内作垂直于l的直线垂直于平面

　　　　 C．过点P垂直于平面的直线在平面内

　　　　 D．过点P垂直于直线l的直线在平面内

11．已知变量x，y满足条件的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．[3，6]

12．在△ABC中，，则AB+AC的长可表示为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　　 C． D．6

1,3,5

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．等差数列{a_n}的公差为2，若的值为　　　　

14．设函数，那么任取一点的概率为　　　

15．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值为　　　　  ；

16．函数上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么等于　　　　　 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题共12分）已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（，其中

　 （Ⅰ）若，求角的值；

　 （Ⅱ）若的值。

18．（本小题共12分）等腰梯形ABCD的两底分别为AB=10，CD=4，两腰AD=CB=5，动点P由B点沿折线BCDA向A运动，设P点所经过的路程为x，三角形ABP的面积为S。

　 （Ⅰ）求函数的解析式；

　 （Ⅱ）试确定点P的位置，使△ABP的面积S最大。

19．（本小题共12分）一个多面体的直观图和三视图（主视图、左视图、俯视图）如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点。

　 （Ⅰ）求证：MN//平面ACC₁A₁­；

　 （Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁BC。

20．（本小题共12分）对于函数。

　 （Ⅰ）若在区间（1，4）内为增函数，在区间内为减函数，试求实数a的范围；

　 （Ⅱ）试问在的图象上是否存在和x轴平行的切线，若存在，请说明理由，并指出存在的条数；若不存在，也请说明理由。

21．（本小题共12分）已知数列，S_n是其前n项的和，且

　 （Ⅰ）求数列的通项公式；

　 （Ⅱ）设，是否存在最大的正整数k，使得对于

任意的正整数n，有恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

22．（本小题共14分）在直角坐标平面中，△ABC的两个定点为A（0，－1），B（0，1），平面内两点G、M同时满足①（O为坐标原点），②，③。

　 （Ⅰ）求顶点C的轨迹E的方程；

　 （Ⅱ）直线l：与曲线E交于P，Q两点，求四边形PAQB的面积的最大值。

参考答案

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。

1,3,5

ABADC，CCACD，AD

二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．2　14．0.3　15．　　16．

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17．解：（Ⅰ）∵

∴ ……3分

由

∴　 ………………6分

（Ⅱ）由

∴　…………10分

又  ……12分

18．解：（Ⅰ）过C点作CE⊥AB于E

在△BEC中，

∴　 ………………1分

由题意：当时，过P点作PF⊥AB于F

∴

∴  …………3分

当　 ………………5分

当

∴　 ………………7分

综上可知：函数　…………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当x时，为增函数

当，最大值为20

当为减函数，无最大值

综上可知，当P点在CD上时，△ABP的面积S最大为20　…………12分

19．解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁

（Ⅰ）连结AC₁，AB₁。

由直三棱柱的性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥A₁B₁，则四边形ABB₁A₁为矩形。

由矩形性质得AB₁过A₁B的中点M

在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN//AC₁，………………3分

又AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁，

所以MN//平面ACC₁A₁　…………6分

（Ⅱ）因为BC⊥平面ACC₁A₁，AC平面ACC₁A_1­，所以BC⊥AC₁ …………8分

在正方形ACC₁A₁中，A₁CA⊥AC₁

又因为BCA_­1C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC  …………10分

由MN//AC₁，得MN⊥平面A₁BC　…………12分

20．解：　 ………………2分

　 （Ⅰ）为满足题意，必有内恒成立。　　　　 由于

　　所以　

　　∴　…………7分

　　（Ⅱ）若存在，则方程有解。

由于 ，

所以，当a=2时，△=0，方程有一个解，此时满足条件的切线只有一条；当时，△>0，方程有两个解，此时满足条件的切线有两条。　…………12分

21．解：（Ⅰ）由已知　 ………………①

得 　 …………②

②－①，得 　 …………2分

∴

∴

∴

所以数列 是一个以2为首项，2为公比的等比数列

∴　 …………5分

（Ⅱ）　 …………7分]

∴

∴

　 ………………9分

∵n是正整数，　 ∴

∴数列{T_n}是一个单调递增数列，又

∴，

要使 恒成立，则　 ………………11分

又k是正整数，故存在最大正整数 k=5使　恒成立  …………12分

22．解：（Ⅰ）设，由①知　 ∴

由②知M是△ABC的外心，∴M在x轴上，

由③知　　 …………3分

由 ，

∴动点C轨迹为椭圆，方程为　　…………6分

（Ⅱ）将

由　………………8分

设 ，

则

　 …………10分

∴　………………12分

∴t=0，四边形PAQB的面积的最大值　　………………14分