高三理科数学12月月考试卷
高三数学（理科）
命题人：张宏汉 审题人：杨红云
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)
1．设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={2,5}，则A
(CUB)= ( )
A. {2} B. {2,3} C. {1,3} D. {3}
2．已知
，且
，则
（
）
A．
B．
C．
D． 
3．等差数列
的公差为2，若a1、a3、a4成等比数列，则a2= （
）
A．－6 B．－8 C．8 D．6
4．设ｂ、ｃ表示两条直线，
、β表示两个平面，下列命题中真命题是 ( )
Ａ．若ｂ
，ｃ∥，则ｂ∥ｃ Ｂ．若ｂ，ｂ∥ｃ，则ｃ∥
Ｃ．若ｃ∥，ｃ⊥β，则⊥β D．若ｃ∥，⊥β，则ｃ⊥β
5．已知
展开式中，各项系数的和为64，则
等于 ( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
6.已知抛物线
的准线与双曲线
的一条准线重合，则这条抛物线与双曲线的交点P到抛物线焦点的距离为 ( )
A.
B.21
C.6
D.4
7. 设三棱锥的3个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为
，则其外接球的表面积为 ( )
A.
B.
C. 
D.
8．某小组有4名男生，5名女生，从中选派5人参加竞赛，要求有女生且女生人数少于男生人数的选派方法种数有 （ ）
A. 40 B. 45 C. 105 D. 110
9. 已知直线
按向量
平移后得到的直线
与圆
相切，那么
的值为 ( )
A.9或－1 B.5或－5 C.－7或7 D.-1或9
10．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已
知加密规则为:明文
对应密文
,例如,
对应密文
.当接收方收到密文
时,则解密得到的明文为
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知
是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是
的图象过A（－4，0），B（2，3）两点，若
，则x的取值范围是 （ ）
A．[0，3] B．[－4，2] C．[1，3] D．[－1，2]
12．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列
：
，如果
为数列的前项和，那么
的概率为 （ ）
高三数学（理科）
| 题 号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
| 得 分 |
|
|
|
|
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中相应的横线上。
13．已知函数
在点x=0处连续，则a=
．
14．设
,
为正数 ,则
的最小值是 ．
15．若不等式
无解，则
的取值范围是
．
16．给出下列命题
①若命题P和命题Q中只有一个是真命题，则
P或Q是假命题；
②
或
是
成立的必要不充分条件；
③若函数y=f（x）满足
是周期函数；
④若
，则r的取值范围是
．
其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(本题满分10分) 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.
（Ⅰ）求在一年内李明参加驾照考试次数
的分布列和的期望；
（Ⅱ）求李明在一年内领到驾照的概率．
18．(本题满分10分)设函数
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，a、 b、 c分别是角A、B的对边，
，求b，c的长．
19．(本题满分12分) 如图，已知三棱锥
的侧棱
两两垂直，且
，
，
是
的中点．
（1）求
点到面
的距离；
（2）求异面直线
与
所成的角；
（3）求二面角
的大小．
20． (本题满分12分)已知函数
，
（Ⅰ）当
时，求函数在
上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求的单调区间；
21．(本题满分12分)已知方向向量为
的直线
过椭圆C：
的焦点以及点(0，
)，椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）是否存在过点E(-2，0)的直线交椭圆C于点M、N，使△MON的面积为
，(O为坐标原点)？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
22．(本题满分14分)已知定义在R上的单调函数对任意的实数，，都有
.
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)数列满足
且
①求通项公式
的表达式；
②令
，
，
试比较
与
的大小，并加以证明.
高三理科数学参考答案及评分标准（12月）
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | B | A | C | B | D | B | B | A | C | D | B |
二、填空题：
13．－1 14．9
15．
16．②③④
三、解答题：
17．(本题满分10分)解：（Ⅰ） 的取值分别为1，2，3，4.
，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（）=0.6.
，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故
ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故
……………（4分）
∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0.6 | 0.28 | 0.096 | 0.024 |
∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. ……………（6分）
（Ⅱ）李明在一年内领到驾照的概率为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976. ……………（10分）
18．(本题满分10分)
解（Ⅰ）
……………4分
∴
……………5分
（Ⅱ）f (A) = 2， 即
∴b2 + c2－bc = 3 ①
又b2 + c2 + 2bc = 9 ②
②－① bc = 2 ③ ……………8分
b + c = 3 ④
b > c ⑤
由③，④解出
……………10分
19:. (本题满分12分) (1)取
的中点
,连
、
、
则
面,
的长就是所要求的距离.
、
，
，在直角三角形
中，有
（另解：由
……………4分
(2)取
的中点
，连
、
，则∥
是异面直线与所成的角.求得:
……………8分
(3)连结
并延长交
于
,连结
、
.
则
就是所求二面角的平面角.作
于
,则
在直角三角形
中,
在直角三角形
中,
……………12分
方法二:(1)以为原点,
、、分别为、、
轴建立空间直角坐标系.
则有
、
、
、
设平面的法向量为
则由
由
，则点到面的距离为
……4分
<
>
所以异面直线
与所成的角
. ………8分
(3)设平面
的法向量为
则由
知:
由
知:
取
由(1)知平面的法向量为
则<
>
.
结合图形可知,二面角
的大小为:
.
……………12分
20．(本题满分12分)
解：（1）∵
，
∴
=
=
……………3分
令
，得
=2，
当
时，
；当
时，
∴在区间上，=2时，最大=
；
；而
，
=
∴
……………6分
（2）∵
，∴
=
……………8分
①当
时，由得：
0，由得：
0，又
∴在
为增函数
②当
时，
==
由得：
由得：
又
∴的单调增区间是
；减区间是
……………12分
21．(本题满分12分)
解：⑴直线
①，过原点垂直于
的直线方程为
②
解①②得
.
……………2分
∵椭圆中心O(0，0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，
∴
， ………（3分）
∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，
……………4分
∴
，故椭圆C的方程为
③ ……………6分
⑵当直线的斜率存在时，设
代入③并整理得
，
设
，则
……………8分
∴
，
点到直线的距离 
，
……………10分
∵
， ∴
，即
解得 
，此时
当直线的斜率不存在时，
，也有
故存在直线满足题意，其方程为
.
……………12分
22、(本题满分14分)
（1）令y=0得f(x)[1-f(0)]=0，则f(0)=1 ……………3分
（2）①由递推关系知
从而
……………6分
②
的大小，只需比较
的大小，由=1，2，3代入可知4n>2n+1，猜想4n>2n+1. ……………10分
下面用数学归纳法证明
（i）当n=1时，41>2×1+1成立
（ii）假设当n=k时命题成立，即4k>2k+1
当n=k+1时，4k+1=4×4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1，
说明当n=k+1时命题也成立.
由（i）（ii）可知，4n>2n+1 对于n∈N*都成立.
故Sn>.………………………………………………………………14分
注：证明4n>2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，
如：4n=(1+3)n=1+