高三数学科第一学期期末联考试卷
考试时间120分钟，满分150分
命题人：郑启文 审核人：张神驹
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知条件
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知两定点
、
且
是
与
的等差中项，则动点P的轨迹方程是（ ）
A. 
B.
C. 
D. 
3.已知ABCD是边长为1的正方形，设
（ ）
A．1
B.
C.
D.2
4．若函数
(
)
的部分图象如图所示，则有（ ）
5．正四棱柱的底面边长是1，侧棱长是2，它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．6 B．
C．
D．
6.过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且AB弦长为7，则这样的直线（
）
A. 不存在 B. 有无穷多条 C. 有且仅有一条 D. 有且仅有两条
7．将函数
的图象向左平移m个单位所得的图象关于
轴对称，则
最小正值是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
、
是两个不同平面，、
是两不同直线，下列命题中的假命题是（ ）
A．
B． 
C． 
D． 
9．若f (x)=
(a>0且a
1)，满足
，则函数f (x)的图像沿
= (
，0)平移后的图像大致是( )
10．从圆
外一点
向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 ( )
A．
B．
C．
D．
11.等差数列
中，
，若数列
的前项和为
，则的值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
| |
满足：对一切
时，
则
（ ）
A．
B．
C．
D． 
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题有4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.
13．函数
的定义域是
。
14．若数列
满足
是首项为1，公比为2的等比数列，则
等于
。
15．设实数
满足约束条件：
，则
的最大值为 ．
16．下列函数①
；②
；
③
；④
中，满足“存在与x无关的正常数M，使得
对定义域内的一切实数x都成立”的有 （把满足条件的函数序号都填上）.
三、解答题：本大题有6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分） 已知
，且
（1）求
的值；
（2）求
的值。
18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab , 当x
(－∞,－3)
(2,＋∞)时, f(x)＜0,当x(－3,2)时f(x)＞0 .
（1）求f(x)在[0,1]内的值域.
（2）若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围.
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， AA1=4，AB=5，BC=3，AC=4，D为CC1的中点。
（1）求异面直线AD与A1B1所成角的余弦值；
（2）试在线段AB上找一点E，使得：A1E⊥AD；
（3）求点D到平面B1C1E的距离。
20．（本小题满分12分）
某高速公路指挥部接到通知，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道临时堤坝，以防山洪淹没正在紧张施工的隧道工程。经测算，除现有施工人员外，还须调用翻斗车搬运立方米的土方。已知每辆翻斗车每小时可搬运的土方量为
，指挥部可调用25辆上述型号的翻斗车，但其中只有一辆可以立即投入施工，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工。
（1）从第一辆车投入施工算起，第25辆车须多久才能到达？
（2）24小时内能否完成防洪堤坝工程？请说明理由。
21．（本小题满分12分） 
是以
为焦点的双曲线C：
（a＞0，b＞0）上的一点，已知
=0，
．（1）试求双曲线的离心率
；（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当
=-
，
=
，求双曲线的方程．
22．（本小题满分14分）已知数列{}中，
（n≥2，
），
（1）若
，数列
满足
（），求证数列{
}是等差数列；
（2）在（1）的情况下，求数列{}中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）若
，试证明：
．
答案
一、选择题：
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | 7. | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. |
| A | C | D | C | C | D | A | B | B | B | C | D |
二、填空题：
13. 
； 14.
； 15. 68； 16. ② ③
三、解答题：
17. （1）由得
……………………………… 2分
…………6分
（2）原式
……………………12分
18、解 (1)由题意得a＜0且ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的根为－3,2……………2分
－3＋2＝
,(－3)×2＝
,从而a＝－3,b＝5……………………4分
f(x)＝－3x2－3x＋18,对称轴为x＝
，可得f(x)∈[12,18]
………………7分
(2)由－3x2＋5x＋c≤0得c≤3x2－5x恒成立,得c≤－
…………………… 12分
19．解：（1）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，
（1）∵
，
∴
（或其补角）为异面直线AD与A1B1所成的角，
………………………2分，连结BD，
在
中，∵AC=4，
∴
，
在
中，∵BC=3，CD=2，∴
，
在△ABD中，∵AB=5，
∴异面直线AD与A1B1所成角的余弦值为
………………………………4分
（2）证明：∵AB=5，BC=3，AC=4，∴
，
∵底面ABC⊥侧面ACC1A1，∴BC⊥侧面ACC1A1，………………………………6分
取AB、AC的中点E、F，连结EF、A1F，则EF//BC，
∴EF⊥平面ACC1A1， ∴A1F为A1E在侧面AC1内的射影，
在正方形C1CAA1内，∵ D、F分别为CC1、AC的中点，
∴≌
，∴
，
∴
，∴
，
∴
（三垂线定理）………………8分
（3）连结
，过D作DH⊥，垂足为H。
∵EF//BC，BC//B1C1，∴EF// B1C1，∴点F在平面B1C1E内。
∵EF⊥平面ACC1A1，
平面ACC1A1，EF⊥DH，………………10分
∵
，
，∴DH⊥平面B1C1E。
在
中，∵
，∴
。……………12分
(本题用空间向量法来解，每小题对应给分)
20．解：（1）设从第一辆车投入施工算起，各车到达时间依此为
、
、…、
，依题意，它们组成一个首项为0，公差为
（小时）的等差数列，…………3分
则=+24d，∴=24×=8，
答：第25辆车须8小时后才能到达。………………6分
（2）设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间依次为
、
、…、
，依题意，它们组成一个公差为－（小时）的等差数列，且
………………8分
∵每辆车每小时的工作效率为
，∴
即
，……………………10分
又∵
，∴
，即
，
由于
，可见的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成。
答：24小时内能完成防洪堤坝。………………………………………………12分
21．解（1）∵
，
，∴
，
．
∵
=0，∴(4a)2+(2a)2=(2c)2，∴
．…………………4分
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为
，渐近线方程为
．……5分
设P1(x1，2x1)，P2(x2，-2x2)，P(x，y)．………………………………………6分
∵
，∴
． ∵
，∴
…………10分
∵点P在双曲线上，∴
．
化简得，
．∴
．∴ 
．∴双曲线的方程为
…………12分
22．（1）
，而 
，
∴ 
．
∴ {}是首项为
，公差为1的等差数列．…………… 4分
（2）由（1）有
，而
， ∴ 
.对于函数
，在x＞3.5时，y＞0，
，在（3.5，
）上为减函数.
故当n＝4时，
取最大值3. ……………………………… 6分
而函数
在x＜3.5时，y＜0，
，在（
，3.5）上也为减函数．故当n＝3时，取最小值，
＝－1. ……………………………………… 8分
（3）
用数学归纳法证明
，再证明
① 当
时，成立； ……………………………………… 9分
②假设当
时命题成立，即
，
当
时，
故当时也成立， ……………………………………… 11分
综合①②有，命题对任意
时成立，即. …………12分
（也可设
（1≤
≤2），则
，
故
）.
下证：
.………………………14分
（本小题若不用数学归纳法证明，需对应给分。）