高三数学第一学期调研测试试题
命题人：吴卫东、周德群、王康生、
黄春禄、张敏、丁凤桂等
注意事项：
1. 答卷前考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填写在答题纸上，其中考号的涂写务必从左面第1列开始.
2. 交卷时，只交答题纸.
一、填空题：(每小题5分,14小题，共70分，把答案填在答题纸指定的横线上)
1．集合
▲ ．
2．“
”是“
”的 ▲ 条件．
3．复数
的值是 ▲ ．
4．若向量
的夹角为 ▲ ．
5．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ▲ ．
6．设
、
满足条件
，则
的最小值 ▲ ．
7．奇函数
上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则
= ▲ ．
8．在
ABC中,
,
,面积为
,那么
的长度为 ▲ ．
9．设等差数列
的等比中项，则
等于 ▲ ．
10．以下伪代码：
Read x
If x≤2 Then
y←2x－3
Else
y←log2x
End If
Print y
表示的函数表达式是 ▲ ．
11．四棱锥
的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：
则四棱锥的表面积为 ▲ ．
12．如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.
13．设直线
的方程为
，将直线绕原点按逆时针方向旋转
得到直线
，则的方程是
14．已知
是不相等的两个正数，在之间插入两组数：
和
，（ 
，且
，使得
成等差数列，
成等比数列．老师给出下列四个式子：①
；②
； ③
；④
；⑤
．其中一定成立的是 ▲ ．（只需填序号）
二、解答题：（本大题6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在指定的方框内）
15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB=bcosC.
（Ⅰ）求角B的大小；
| |
的最大值是5，求k的值.
16．（15分）已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=
，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）.
（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；
（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC
把几何体分成的两部分
；
（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线PD
是否平行面AMC.
17．（14分）已知过点A（0，1），且方向向量为
，相交于M、N两点.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：
；
（3）若O为坐标原点，且
.
18．（16分）设常数
，函数
.
（1）令
，求
的最小值，并比较的最小值与零的大小；
（2）求证：
在
上是增函数；
（3）求证：当时，恒有
．
19．（本小题满分15分）设函数
求证：
（1）
；
（2）函数在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设
是函数的两个零点，则
20．（本题满分16分）设轴、轴正方向上的单位向量分别是
、
，坐标平面上点
、
分别满足下列两个条件：①
且
；②
且
.
（1）求
及
的坐标；
（2）若四边形
的面积是
，求
的表达式；
（3）对于（Ⅱ）中的，是否存在最小的自然数M，对一切
都有
成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．
第Ⅱ部分 加试内容
（满分40分，答卷时间30分钟）
一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．求曲线
与
轴所围成的图形的面积．
2．某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数
的分布列为
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0.4 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．
表示经销一件该商品的利润．
（1）求事件
：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率
；
（2）求的分布列及期望
．
二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3．（几何证明选讲）
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC.
(1)求证：ÐP=ÐEDF；
(2)求证：CE·EB=EF·EP；
(3)若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA的长.
4．（矩阵与变换）
已知曲线
：
（1）将曲线绕坐标原点逆时针旋转
后，求得到的曲线
的方程；
（2）求曲线的焦点坐标和渐近线方程.
5．（坐标系与参数方程）
已知直线
经过点
,倾斜角
，
（1）写出直线的参数方程;
（2）设与圆
相交与两点
，求点
到两点的距离之积.
6．（不等式选讲）
设a、b、c均为实数，求证：
+
+
≥
+
+
.
高三调研测试数学答案（08.1）
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. {1，2，3} 2. 充分而不必要条件 3. 2 4. 
5. 48 6. 4 7．
8．
9．4 10．
11．
12．
13．
14．①②
二．．解答题：本大题共6小题，共90分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程．
15．解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，
∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分
∵0<A<π,∴sinA≠0.
∴cosB=
.…………………………………………………………………5分
∵0<B<π，∴B=
.…………………………………………………………6分
（II）
=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分
=－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，
）……………………………………10分
设sinA=t，则t∈
.
则=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈.…………………………12分
∵k>1，∴t=1时，取最大值.
依题意得，－2+4k+1=5，∴k=
.……………………………………………………14分
16．（I）证明：依题意知：
|
…………2分
…4分
（II）由（I）知
平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD. …………5分
在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
设MN=h
则
…………8分
要使
即M为PB的中点. …………10分
（Ⅲ）连接BD交AC于O，因为AB//CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD
∴O不是BD的中心……………………10分
又∵M为PB的中点
∴在△PBD中，OM与PD不平行
∴OM所以直线与PD所在直线相交
又OM
平面AMC
∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分
17解：（1）
……………………2分
由
……………………5分
……………………9分
……………………11分
……………………12
……………………14分
18．解（Ⅰ）∵
，
∴
，
……2分
∴
，
∴
，令
，得
，
……4分
列表如下：
|
|
| 2 |
|
|
|
| 0 |
|
|
|
| 极小值 |
|
∴在处取得极小值
，
即的最小值为． ……6分
，
∵
，∴
，又
，
∴
．
……8分
证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值是正数，
∴对一切，恒有
，
……10分
从而当
时，恒有
，
……11分
故在
上是增函数．
……12分
证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：在上是增函数，
∴当时，
，
……13分
又
，
……14分
∴
，即
，
……15分
∴
故当时，恒有．
……16分
19．证明：（1）
又
……………………2分
又2c=－3a－2b 由3a＞2c＞2b ∴3a＞－3a－2b＞2b
∵a＞0 
………………………………………………4分
（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a－c………………………………6分
①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点……………………8分
②当c≤0时，∵a＞0 
∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点.
综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点…………………………10分
（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点
则
的两根
∴
……………………………………12分
……………………………………15分
20．（本小题满分16分）
解：（1）
．……………………………………5分
（2）
，……………………………………………………10分
（3）
等
即在数列
中，
是数列的最大项，所以存在最小的自然数
，对一切都有＜M成立. …………………………16分
第Ⅱ部分 加试内容
一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．
1. 解 函数的零点：
，
，
.…………………4分
又易判断出在
内，图形在轴下方，在
内，图形在轴上方，
所以所求面积为
………10分
2. 解 （1）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
．…………4分
（2）的可能取值为
元，
元，
元．
，
，
．
的分布列为
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（元）．……………………10分
二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．
3.
解 （1）∵DE2=EF·EC，
∴DE : CE=EF: ED．
∵ÐDEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．
∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．
∴ÐP=ÐEDF．……………………3分
（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，
∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF·EP=DE·EA．
∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．………6分
（3）∵DE2=EF·EC，DE=6，EF= 4， ∴EC=9．
∵CE : BE=3 : 2， ∴BE=6．
∵CE·EB=EF·EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=
．
∴PB=PE－BE=
， PC=PE＋EC=
．
由切割线定理得：PA2=PB·PC，
∴PA2=×．∴PA=
．……………………10分
4. 解 （1）由题设条件，
，
，即有
，
解得
，代入曲线的方程为
。
所以将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，得到的曲线是
。………5分
（2）由（1）知，只须把曲线的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转后，即可得到曲线的焦点坐标和渐近线方程。
曲线的焦点坐标是
，渐近线方程
，
变换矩阵
，
，
即曲线的焦点坐标是
。而把直线要原点顺时针旋转恰为
轴与轴，因此曲线的渐近线方程为
和
。……………………10分
5. 解 （1）直线的参数方程为
，即
．………………5分
（2）把直线代入，
得
，
，
则点到两点的距离之积为
．……………………10分
6. 证明： ∵a、b、c均为实数，
∴
（＋）≥
≥，当a=b时等号成立；……………………4分
（＋）≥
≥，当b=c时等号成立；……………………6分
（＋）≥
≥．……………………8分
三个不等式相加即得++≥++，
当且仅当a=b=c时等号成立. ……………………10分
（若有不同解法，请相应给分）