高三数学（文科）统一练习一

高三数学（文科）统一练习一

(1)已知集合M={yy=2^x,xÎR},P={yy=}，则MÇP是

(A) {yy>1}　　　　 (B) {yy³1}　　　　  (C) {yy>0}　　　　  (D) Æ

(2)已知等差数列{a_n}中，a₆+a₁₀=16，a₄=1，则a₁₂的值是

(A) 15　　　　　　  (B) 30　　　　　　  (C) 31　　　　　　　 (D) 64

(3) 把编号为1、2、3、4的4位运动员排在编号为1、2、3、4的4条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同的排法种数是

(A) 3　　　　　　  (B) 6　　　　　　 (C) 12　　　　　　　　 (D) 24

(4) 在底面是矩形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠DAD₁=∠CDC₁=45°，那么异面直线AD₁与DC₁所成角的度数为

(A)　30°　　(B)　45°　　(C)　60°　　(D)　90°

(5) 已知f(x)=log_ax，当x>1时，f(x)>0，则当0<m<1<n时，下列式子正确的是

(A) 0<f(m)<f(n)　　 (B) f(m)<0<f(n)　　 (C) f(n)<f(m)<0　　  (D) f(n)<0<f(m)

(6) “a+b=2”是“直线x+y=0与圆相切”的

(A) 充分不必要条件　　　　　　　　  (B) 必要不充分条件

(C) 充分必要条件　　　　　　　　　  (D) 既不充分也不必要条件

(7) 已知M(2,1)，N(－1,2)，在下列方程的曲线上，存在点P满足的曲线是

(A) 3x－y+1=0 　(B)　 (C) 　 (D)

(8)对任意两实数a、b，定义运算“”如下：则关于函数f(x)=sinxcosx正确的命题是

(A) 函数f(x)值域为[－1，1]

(B)当且仅当x=2k(k时，函数f(x)取得最大值1

(C)函数f(x)的对称轴为x=(k

(D)当且仅当2k<x<2k+(k时，函数f(x)<0

二、填空题

(9) 在的展开式中，含与项的系数相等，则a的值是　　　　。

(10) 已知向量，的夹角为，要使向量与垂直，则=　。1

(11) 已知，则z=x+y-2的最大值是　　　　 。1

(12) 若椭圆的左右焦点分别是，线段被y焦点分为3:1两段，则此椭圆的离心率为　　　　  。

(13) 各棱长为a的正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为　　　 。

(14) 二次函数y=的部分对应值如下表：

x	－4	－3	－2	－1	0	1	2	3
Y	10	4	0	－2	－2	0	4	10

则不等式的解集是　　　　　　　　　  。

三、解答题

15．(13分)已知向量=(sin,2cos)，=()

（Ⅰ）当qÎ[0，p]时，求函数f()=×的值域；

（Ⅱ）若∥，求sin2的值。

解：（Ⅰ）由f()=×得，

∵qÎ[0，p]，

∴的值域为[-1，2]

（Ⅱ）∵∥，∴,∴

∴

16．（12分）袋中黑白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，规定甲先乙后，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球就终止，每个球在每次被摸出的机会均等。

（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；

（Ⅱ）求甲取到白球的概率。

解：（Ⅰ）设袋中原有白球n个，依题意有，，解得，n=3.

所以，袋中原有白球的个数为3.

（Ⅱ）甲取到白球的事件可能发生在第1次、第3次、第5次，

所以甲取到白球的概率为++=。

17．（14分）已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，点E是SC上的一点。

（Ⅰ）求证：平面EBD平面SAC；

（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；

（Ⅲ）当SA=AB时，求二面角B-SC-D的大小。

解法一：

证明（Ⅰ）：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC, ∵ SA底面ABCD，BDÌ面ABCD，∴SABD，∵SAÇAC=A，∴BD^面SAC，又∵BDÌ面EBD，∴平面EBD平面SAC

解（Ⅱ）：由 （Ⅰ）知，BD^面SAC，又∵BDÌ面SBD，∴平面SBD平面SAC，

设ACÇBD=O，则平面SBDÇ平面SAC=SO，过A作AF^SO交SO于点F,则AF^面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离。

∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=，又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=，

∵SO×AF=SA×AO，∴AF=，∴点A到平面SBD的距离为

解（Ⅲ）：作BM⊥SC于M，连结DM，∵SA底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM. 在正方形ABCD中，设AB=a，则AC=BD=a,∵AB=SA，∴SB=a，SC=a,∵BM×SC=SB×BC, ∴BM=a. ∴cos∠BMD=，∴二面角B-SC-D的大小为120。

解法二：

证明（Ⅰ）同解法一。

∵ABCD是正方形，SA底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，AB⊥AD，如图，建立直解坐标系A-xyz。

（Ⅱ）A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），S（0，0，4），设平面SBD的法向量为，则⊥，⊥，

∴，，而=（2，0，-4），=（0，2，-4）

∴，∴x=2,y=2,即，则点A到平面SBD的距离d==

（Ⅲ）设SA=AB=a，则A（0，0，0），B（a，0，0），C(a,a,0),D（0，a，0），S（0，0，a）；设平面SBC的法向量=(x₁,y₁,-1),平面SDC的法向量=（x₂,y₂,1）

则,而=（0，a,0）,=(-a,0,0),=(a,a,-a)

∴,∴x₁=-1,y₁=0，x₂=0,y₂=1

∴=(-1,0,-1),=(0, 1,1), ∴cos<,>==,∴二面角B-SC-D的大小为120。

18．（14分）已知定点F(1,0)，动点P在y轴(不含原点)上运动，过点P作线段PM交x轴于点M，使；再延长线段MP到点N，使。

（Ⅰ）求动点N的轨迹C的方程；

（Ⅱ）直线L与轨迹C交于A、B两点，如果=－4且，求直线L的方程。

解：（Ⅰ）设N（x,y），P（0，p），由题意知，P为MN的中点，∴M(-x,2p-y)，又M在x轴上，∴2p-y=0,即p=,∴P(0,),M(-x，0)

∵，∴（-x，-）×（1，-）=0,∴y²=4x(x>0)

∴动点N的轨迹C的方程为y²=4x(x>0)

（Ⅱ）若直线L的斜率不存在，设直线L的方程为x=a>0，此时，A（a,）,B（a,）, =a²-4a=-4,∴a=2，，AB=¹,不符合题意，舍去。∴直线L的斜率存在。

设直线L的方程为y=kx+b,A、B,

由消去y整理得，ky²-4y+4b=0,△=16-16kb>0,y₁+y₂=,y₁y₂=

===-4,∴b= -2k，∴y₁y₂=-8

AB===,

∵∴

 ∴k=±1　∴当k=1时，b=-2,当k=-1时，b=2；所以直线L的方程为y=x-2或y=-x+2

（19）（14分）设函数的图象过点（-1，2）。

（Ⅰ）试用a表示b；

（Ⅱ）当a=3时，求f(x)的单调区间与极值；

（Ⅲ）若a<0且f(-1)是函数f(x)的极小值，求a的取值范围。

解：（Ⅰ）∵函数的图象过点（-1，2）,

∴,整理得，a-3b-12=0.

（Ⅱ）当a=3时，由a-3b-12=0得，b=-3, ∴f(x)=x³-3x，=3(x+1)(x-1)，令,解得x₁=-1,x₂=1。当x变化时，，f(x)的变化情况如下表：

x	(-¥,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+¥)
	+	0	-	0	+
f(x)		极大值2		极小值-2

所以，f(x)的单调增区间是（-¥,-1)，(1,+¥)，单调减区间是（-1，1），极大值是f(-1)=2，极小值是f(1)=-2。

（Ⅲ）=（x+1）(ax+b),∵a<0且f(-1)是函数f(x)的极小值，∴>-1，又∵a-3b-12=0,∴,∴,解得，a<-6,∴a的取值范围为(-¥,-6)

(20)（13分）已知数列{}满足，且是的等差中项。

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）若=，求使S>50成立的正整数n的最小值。

解：（Ⅰ）∵，即，∴数列{}是以2为公比的等比数列。

∵是的等差中项，∴，∴，∴，

∴数列{}的通项公式。

（Ⅱ）由（Ⅰ）及=得，，

∵，

∴　　  1

∴　 2

2-1得，=

要使S>50成立，只需2ⁿ⁺¹-2>50成立，即2ⁿ⁺¹>52，n³5

∴使S>50成立的正整数n的最小值为5。