高三理科数学素质测试
本卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第错误！未找到引用源。卷（选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将答案填在答题卡相应位置。
（1） 已知向量
满足
则
夹角为
（A）
（B）
（C）
（D）
（2） 已知
（A）
（B）
（C）
（D）
（3） 设i为虚数单位，复数
（A）
（B）
（C）
（D）
（4） 设点P是函数
的图像C的一个对称中心，若点P到图像C的对称轴的距离的最小值是
，则
的最小正周期是
（A） （B）
（C）
（D）
（5） 点F为双曲线
的右焦点，l为其右准线，l被双曲线的渐近线截得得线段长等于点F到直线l的距离，则双曲线的离心率为
（A）
（B）
（C）2 （D）
（6） 在
的展开式中，奇数项系数和为2048，则含x的正整数次幂的项共有
（A）4项 （B）3项 （C）2项 （D）1项
（7） 将4个颜色互不相同的球全部放入编号1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放法有
（A）10种 （B）20种 （C）30种 （D）52种
（8） 
如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列1，3，3，4，6，5，10，……，记此数列为
，则
等于
（A）55 （B）65 （C）66 （D）78
（9） 已知
是R上的增函数，那么a的取值范围是
（A）
（B）
（C）（1，2） （D）
（10） 如图，已知正方形
的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱
上运动，点N在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹的面积是
（A）
（B） （C） （D）
（11） 函数
在
上为增函数，
的最小值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（12） 设点O为
所在平面内一点，且
，则O一定为的
（A）外心 （B）内心 （C）垂心 （D）重心
第错误！未找到引用源。卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
（13） 
，若
存在，则常熟a＝______。
（14） 定义在R上的函数，对于人意实数x，都有
（15） 已知实数x，y满足
，则x+2y的最大值是______。
（16） 
如图，正方体的棱长为1，E为
的中点。则下列五个命题
①点E到平面
的距离为
；
②直线BC与平面所成的角等于
；
③空间四边形
在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为；
④BE与
所成角为
；
⑤二面角
的大小为
；
其中真命题是______。（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17） （本大题满分12分）已知函数
求证：
；
已知
的值。
（18） （本大题满分12分）大学毕业生小张到甲乙丙丁四个单位应聘，各单位是否录用他相互独立。其被录用的概率分别为
（允许小张被多个单位同时录用）
①求小张没有被录用的概率；
②求小张被三个单位录用的概率；
③设录用小张的单位个数为
，求的分布列和它的数学期望。
（19） 
（本大题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，对角线AC,BD的交点为O，
为等边三角形，棱
,M为EF的中点，
①求证：
；
②求二面角E-CD-A的大小；
③求点A到平面CDE的距离。
（20） （本大题满分12分）已知数列
当x＝t时，函数
取得极值
①求证：数列
是等比数列；
②记
时，数列
中是否存在最大项。若存在，是第几项；若不存在，请说明理由。
（21） 
（本大题满分12分）已知椭圆
，F为其右焦点，A为左顶点，l为右准线，过F的直线
与椭圆交于异于A的P，Q两点；
①求
的取值范围；
②若
；
求证：M，N两点的纵坐标之积为定值。
（22） （本大题满分14分）定义在R上的函数
处取得极值，且的图像在
处的切线平行直线y=8x，
①求函数的解析式及极值；
②求不等式
的解集；
③对任意
，求证：
数学（理科）参考答案及评分说明
一．选择题
1、C 2、B 3、C 4、A 5、D 6、B 7、A 8、C 9、D 10、D 11、A 12、C
二．填空题
13．－3 14．2008 15．4 16．错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
三．解答题
17．解
错误！未找到引用源。
＝
＝
…………………………………………………………(6分)
错误！未找到引用源。
＝
…………………………………………………………(12分)
18．解：错误！未找到引用源。设未被选中的概率为P
则P＝
………………………………………………………(6分)
错误！未找到引用源。设小张被三个单位选中的概率为P
则P＝
＝
…………………………………………………(12分)
错误！未找到引用源。由题可知，的可能取值为0，1，2，3，4
，
，
………………………………………(10分)
则的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P |
|
|
|
|
|
……………………………………(12分)
19．解：错误！未找到引用源。设P，Q分别为AB，CD的中点，连接PQ，EQ，FP，
显然：P，O，Q共线；四边形EFPQ为等腰梯形；
MO
PQ 又
DCPQ,DCEQ
DC平面PQEF
CDMO
则MO平面ABCD…………………………(6分)
错误！未找到引用源。由错误！未找到引用源。知：二面角E-CD-A的平面角
EQP，
作ENPQ交PQ于N，
则N为OQ的中点；
…………………………(12分)
错误！未找到引用源。AB//平面CDE，A,P两点到平面CDE的距离相等，
作PREQ于R，由
PR＝
…………………………(12分)
若用坐标法解答，参照评分标准相应给分。
20．解：
时，函数
取得极值，
，即数列
是等比数列…………………………(4分)
错误！未找到引用源。由错误！未找到引用源。知：
………………………(6分)
假设
是数列中的最大项，则
又
………………………(12分)
21、解：错误！未找到引用源。i)当直线PQ的斜率不存在时，点
…………………(2分)
ii）设直PQ的斜率为k，
，方程为：
代入椭圆方程得：
综上所述： 
………………………(8分)
错误！未找到引用源。
……………………..(12分)
22、解：错误！未找到引用源。由题设知：
………………..(2分)
当x变化时，
得变化情况如下表：
| x |
| -1 |
|
|
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
|
|
| 0 |
|
|
|
…………………….(4分)
错误！未找到引用源。
考虑方程
根得情况：
若k>0，则方程得根为
当k>1时，
ii)k=1时，不等式得解集为
iii）0<k<1时，不等式的解集为
若k＝0，不等式的解集为
………………….（12分）
若k<0，不等式的姐姐为
错误！未找到引用源。
由错误！未找到引用源。知：
上的最大值，最小值分别是4，
…………………….(14分)