高三数学第一次调研考试
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则
A．{4，5} B．{2，3} C．{1} D．{2}
2．
…
除以9的余数是
A．1 B．4 C．7 D．8
3．
函数
的定义域和值域均为[0，1]，则a等于
A．
B．2
C．
D．
4． 双曲线的一条渐近线与实轴的夹角为α，则双曲线的离心率为
A．sinα B．
C．cosα D．
5． 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如右图，由图可知一批电子元件中寿命在100~300小时的电子元件的数量与寿命在300~600小时的电子元件的数量的比是
A．
B．
C．
D．
6． 函数
的单调递增区间是
A．
B．
C．
D．
7． 箱内有大小相同的6个红球和4个黑球，从中每次取1个球记下颜色后再放回箱中，则前3次恰有1次取到黑球的概率为
A．
B．
C．
D．
8． 空间四条直线a，b，c，d，满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，则必有
A．a⊥c B．b⊥d C．b∥d 或a∥c D．b∥d 且a∥c
9． 若a＞0，b＞0，a3＋b3＜2a2b，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
10．△ABC的外接圆圆心为O，且
，则∠C等于
A．45° B．60° C．75° D．90°
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在答题卡相应位置上．
11．已知向量a＝（－1，1），b＝
，则a与b的夹角α＝ ▲ ．
12．垂直于直线x－3y＝0且与曲线
相切的直线方程为 ▲ ．
13．椭圆
的一个焦点为F，点P在椭圆上，且
（O为坐标原点），则
△OPF的面积S＝ ▲ ．
14．数列{an}中，
，
，且
，则常数t＝ ▲ ．
15．一排7个座位，让甲、乙、丙三人就坐，要求甲与乙之间至少有一个空位，且甲与丙之间也至少有一个空位，则不同的坐法有 ▲ 种．
16．已知函数
，当
时，有
．给出以下命题：
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
．
则所有正确命题的序号是 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）
已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，且过点P（2，2），过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切．
18．（本题满分14分）
在同一平面内，Rt△ABC和Rt△ACD拼接如图所示，现将△ACD绕A点顺时针旋转α角（0＜α＜
）后得△AC1D1，AD1交DC于点E，AC1交BC于点F．∠BAC＝∠ACD＝
，∠ACB＝∠ADC＝
，AC＝
．
（1）当AF＝1时，求α；
（2）求证：对任意的α∈（0，），
为定值．
19．（本题满分14分）
正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，E为SA的中
点，AB＝1，直线AD到平面SBC的距离等于
．
（1）求斜高SM的长；
（2）求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小；
（3）在SM上是否存在点P，使得OP⊥平面EBC？
并证明你的结论．
20．（本题满分15分）
（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：
；
（2）等比数列{an}中，
，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设
，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜
．
21．（本题满分15分）
已知函数
和
（其中
），
，
．
（1）求
的取值范围；
（2）方程
有几个实根？为什么？
数学参考答案和评分标准
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 7．D 8．C 9．B 10．A
11．120° 12．3x＋y－1＝0 13．
14．10 15．100 16．（1），（4）
17．解：（1）设抛物线
，将（2，2）代入，得p＝1． …………4分
∴y2=2x为所求的抛物线的方程．………………………………………………………5分
（2）联立
消去y，得到
． ………………………………7分
设AB的中点为
，则
．
∴ 点
到准线l的距离
．…………………………………9分
而
，…………………………11分
，故以AB为直径的圆与准线l相切．…………………… 12分
（注：本题第（2）也可用抛物线的定义法证明）
18．解：（1）在△ACF中，
，即
．………………………………5分
∴
．又
，∴
．……………………
7分
（2）
． ……………………………14分
（注：用坐标法证明，同样给分）
19．
解法一：（1）连OM，作OH⊥SM于H．
∵SM为斜高，∴M为BC的中点，∴BC⊥OM．
∵BC⊥SM，∴BC⊥平面SMO．
又OH⊥SM，∴OH⊥平面SBC．……… 2分
由题意，得
．
设SM＝x，
则
，解之
，即
．………………… 5分
（2）设面EBC∩SD＝F，取AD中点N，连SN，设SN∩EF＝Q．
∵AD∥BC，∴AD∥面BEFC．而面SAD∩面BEFC＝EF，∴AD∥EF．
又AD⊥SN，AD⊥NM，AD⊥面SMN．
从而EF⊥面SMN，∴EF⊥QS，且EF⊥QM．
∴∠SQM为所求二面角的平面角，记为α．……… 7分
由平几知识，得
．
∴
，∴
．
∴
，即所求二面角为
． ……………… 10分
（3）存在一点P，使得OP⊥平面EBC．取SD的中点F，连FC，可得梯形EFCB，
取AD的中点G，连SG，GM，得等腰三角形SGM，O为GM的中点，
设SG∩EF＝H，则H是EF的中点．
连HM，则HM为平面EFCB与平面SGM的交线．
又∵BC⊥SO，BC⊥GM，∴平面EFCB⊥平面SGM． …………… 12分
在平面SGM中，过O作OQ⊥HM，由两平面垂直的性质，可知OQ⊥平面EFCB．
而OQ
平面SOM，在平面SOM中，延长OQ必与SM相交于一点，
故存在一点P，使得OP⊥平面EBC． ……………………… 14分
| |
∵底面边长为1，∴
，
，
，
． ……………… 1分
设
，
平面SBC的一个法向量
，
则
，
．
∴
，
．
∴y＝2h，n＝（0，2h，1）．… 3分
而
＝（0，1，0），由题意，得
．解得
．
∴斜高
． …………………………………………………… 5分
（2）n＝（0，2h，1）＝
，
由对称性，面SAD的一个法向量为n1＝
． ………………………………6分
设平面EBC的一个法向量n2=（x，y，1），由
，
，得
解得
∴
．………………… 8分
设所求的锐二面角为α，则
，∴
．…………… 10分
（3）存在满足题意的
点．证明如下：
． ………………………… 11分
又
，令
与n2共线，则
． ……………… 13分
．故存在P∈SM，使OP⊥面EBC．………………………
14分
20. 解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，
＝
． ………………3分
当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是
＝
＝
=
≥
． …………6分
（2）∵
，
，
，∴公比
．……9分
∴
． …………………………………………10分
（注：如用求和公式，漏掉q=1的讨论，扣1分）
． ……………12分
∴
…
…
．……15分21．解：（1）∵
，
，∴
，∴
． 1分
，即
，∴
． …3分
①当
，即
时，上式不成立．………………………………………………4分
②当
，即
时，
．由条件，得到
．
由
，解得
或
． ……………………………………………5分
由
，解得
或
．…………………………………………6分
m的取值范围是
或
． ………………………………………7分
（2）有一个实根．………………………………………………………………………………9分
，即
．
记
，则
．
∵，，
． ………………………10分
△＞0，故
有相异两实根
．
，∴
显然
，
，
∴
，∴
，∴
． …………12分
于是
．
而
为三次函数
的极小值点，故与x轴只有一个交点．
∴ 方程
只有一个实根．…………………………15分