高三数学第一次调研考试
数学试卷·答案·评分标准·讲评设想
A．必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 已知集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∪B= ▲ ．
答案：{1，2，3，4}．
2． 已知复数
满足
，则
▲ ．
答案：
．
3． 函数
的最小正周期T= ▲ ．
答案：
．
4． 
双曲线
的渐近线方程为 ▲ ．
答案：
．
5． 为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第一小组的频数是100，则
▲ ．
答案：1000．
6． 袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是 ▲ ．
答案：
．
7． 运行如图所示的程序，则输出结果为 ▲ ．
答案：13．
8． 数列{an}中，a1=2，a2=1，
(n≥2，n∈N)，
则其通项公式为an= ▲ ．
答案：
．
9． 在△ABC中，若
，则
▲ ．
答案：
．
10．已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为 ▲ cm2．（注 
，其中r为球半径）
答案：26π．
讲评建议：当三线互相垂直时，联想构造长方体．长方体的对角线即为外接球的直径．
11．若不等式
≥0在[1，2]上恒成立，则a的取值范围为 ▲ ．
答案：a≤0．
讲评建议：a≤
在[1，2]上恒成立，a≤()min=(
)min=0．
12．设椭圆
的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且
，
，则该椭圆的离心率等于 ▲ ．
答案：
．
讲评建议：设PF1=m，则PF2=2m，2c=
，2a=3m，
．
13．给定
（n∈N*），定义乘积
为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ▲ ．
答案：2026．
讲评建议：换底公式：
．
为整数，
，m∈N*．k分别可取
，最大值
≤2008，m最大可取10，故和为22+23+…+210-18=2026．
14．已知点O在△ABC内部，且有
，则△OAB与△OBC的面积之比为 ▲ ．
答案：4∶1．
讲评建议：如图，作向量
，
，
．则
．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，
M，N分别为A1B，B1C1的中点．
（1）求证BC∥平面MNB1；
（2）求证平面A1CB⊥平面ACC1A1．
答案：（1）因BC∥B1C1， ………………………………………………………………………2分
且B1C1
平面MNB1， …………………………………………………………………………4分
BC
平面MNB1，
故BC∥平面MNB1． …………………………………………………………………………6分
（2）因BC⊥AC，且ABC-A1B1C1为直三棱柱， ……………………………………………8分
故BC⊥平面ACC1A1．
因BC平面A1CB， ……………………………………………………………………………10分
故平面A1CB⊥平面ACC1A1． …………………………………………………………………12分
讲评建议：必修2中的立几初步，必须控制难度，注重答题规范．
16．（本小题满分12分）
已知向量
，
，记
．
（1）求f(x)的解析式并指出它的定义域；
（2）若
，且
，求
．
答案：（1）∵
，
∴
…………………………………………2分
．……………4分
定义域为
． ………………………………………………………………6分
（2）因
，即
＞0，
故
为锐角，于是
． …………………………………………………9分
∴=
=
． ………………………………………………12分
讲评建议：第（1）问中，必须注意
中x的条件限制．
第（2）中，学生常会将“
”展开，并结合
，求解方程组，求
的值．但三角恒等变换中，“三变”应加强必要的训练．
17．（本小题满分15分）
已知表中的对数值有且只有两个是错误的．
| x | 1.5 | 3 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 14 | 27 |
| lgx | 3a-b+c | 2a-b | a+c | 1+a-b-c | 2(a+c) | 3(1-a-c） | 2(2a-b) | 1-a+2b | 3(2a-b) |
（1）假设上表中lg3=2a-b与lg5=a+c都是正确的，试判断lg6=1+a-b-c是否正确？给出判断
过程；
（2）试将两个错误的对数值均指出来并加以改正．（不要求证明）
答案：（1）由lg5=a+c，得lg2=1-a-c．…………………………………………………………3分
∴lg6=lg2+lg3=1-a-c+2a-b=1+a-b-c， ………………………………………………………6分
满足表中数值，也就是lg6在假设下是正确的． ……………………………………………7分
（2）lg1.5是错误的， ……………………………………………………………………………9分
正确值应为3a-b+c-1．……………………………………………………………………………11分
lg7是错误的， ……………………………………………………………………………13分
正确值应为2b+c． ……………………………………………………………………………15分
讲评建议：变题：第（1）小题直接换为：“求证lg3的对数值是正确的”，该怎样证明？（反证法，即先假设lg3=2a-b是错误的，然后推出lg9，lg27均是错误的即可）
注意表中的数据，lg5与lg7至少有一个错误的．
本题旨在考查数据处理、推理与证明的能力，考查对数的运算。问题背景新颖，具有公平性，体现新课标的理念，体现创新性．
18．（本小题满分15分）
设函数
．
（1）当k=2时，求函数f(x)的增区间；
（2）当k＜0时，求函数g(x)=
在区间（0，2]上的最小值．
答案：18．解：（1）k=2，
．则=
．…………………3分
＞0，（此处用“≥”同样给分） ……………………………………………5分
注意到x＞0，故x＞1，于是函数的增区间为
．（写为
同样给分）
…………7分
（2）当k＜0时，g(x)==
．g(x)=
≥
， ……………9分
当且仅当x=
时，上述“≥”中取“=”．
①若∈
，即当k∈
时，函数g(x)在区间上的最小值为；…11分
②若k＜-4，则
在上为负恒成立，
故g(x)在区间上为减函数，
于是g(x)在区间上的最小值为g(2)=6-k． ………………………………………………13分
综上所述，当k∈时，函数g(x)在区间上的最小值为；
当k＜-4时，函数g(x)在区间上的最小值为6-k． ……………………………………15分
讲评建议：本题涉及对数函数的导数，引导师生重视诸如对数函数、三角函数等导数的运算．
基本不等式的使用必须注意对取“=”条件的验证．
分类讨论，必须要有分有合，也就是最后必须合．
19．（本小题满分18分）
在平面区域
内有一个圆，向该区域内随机投点，将点落在圆内的概率最大时的圆记为⊙M．
（1）试求出⊙M的方程；
（2）设过点P（0，3）作⊙M的两条切线，切点分别记为A，B；又过P作⊙N：x2+y2-4x+
y+4=0的两条切线，切点分别记为C，D．试确定的值，使AB⊥CD．
答案：（1）设⊙M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)，则点(a，b)在所给区域的内部． ……2分
于是有
………………………………………………………………………8分
（未能去掉绝对值，每个给2分）
解得 a=3，b=4，r=
，所求方程为(x-3)2+(y-4)2=5． ……………………………………10分
（2）当且仅当PM⊥PN时，AB⊥CD． ……………………………………………………14分
因
，故
，解得=6． ………………………………………………18分
当=6时，P点在圆N外，故=6即为所求的满足条件的解．（本验证，不写，不扣分）
讲评建议：为了减少计算量，本题中的三直线，两条互相垂直，两条关于水平直线对称．因而也可以通过求角平分线的交点而得出圆心．事实上，一条水平线为y=4，两条互相垂直直线的角平分线所在直线的斜率为
，直线方程为
，两直线交于点（3，4），即为圆心，后利用圆心到任一条直线的距离即就是圆的半径．
本题中涉及线性规划，几何概型等考点，但仅是给出它们的背景，不要深入挖掘．
将知识点有机组合而成的综合问题，是命题的一种趋势．
本题中的两处关于评分的说明，须正确的对待．
20．（本小题满分18分）
已知数列
满足
，
，n∈N*．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求
；
（3）设
，求证
＜
．
答案：（1）由已知，得
，∴
是公比为2的等比数列，首项为
．
∴
，
． …………………………………………………………………6分
（2）
． =
， ①
2= 
， ②
①-②，得 -=
，
∴=
=
． …………………………………………………12分
（3）当n≥2时，
=
＜
=
．
∴=
=
=
＜．
…………………………………………………18分
讲评建议：本题问题叙述简捷，形式优美，体现数学的形式美、内在美．
第（1）问，也可采用迭代法来完成，理科生还可使用数学归纳法来实施．
第（2）问，仍作为压轴问题，旨在强调数列中的一些重要方法．
第（3）问，若将结论减弱为＜
．则所提供的解法中，只须保留原来的两项，或者也可以直接将
，从第3项起，放大为
．
考生不能放弃压轴题，这也算是命题的一种意图．
B．附加题部分
一、选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1． （几何证明选讲）
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM2=PA·PC；
（2）若⊙O的半径为
，OA=
OM，求MN的长．
答案：（1）连结ON．∵PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°．∴∠ONB+∠BNP=90°．
∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB．
∵BO⊥AC于O，∴∠OBN +∠BMO=90°．∴∠BNP=∠BMO=∠PMN，∴PM=PN．
∴PM2=PN2=PA·PC．……………………………………………………………………………6分
（2）OM=2，BO=，BM=4．
∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2．………………………………………10分
2． （矩阵与变换）求矩阵
的特征值和特征向量．
答案：矩阵M的特征值
满足方程
，
解得矩阵
的两个特征值
．…………………………………………………4分
将
代人方程
，得
，则可取
为属于的一个特征向量．
将
代人方程
，得
，
则可取
为属于的一个特征向量．………………………………………………9分
综上所述：有两个特征值，
属于的一个特征向量为
，属于的一个特征向量为．……………10分
3． （坐标系与参数方程）已知圆的极坐标方程为
，求它的半径和圆心的极坐标．
答案：可表示为
，
化为直角坐标方程为
，即
，………………6分
因此该圆的半径为5，圆心的直角坐标为
； ………………………………………8分
所以圆的半径为5，圆心的极坐标为
．…………………………………………………10分
4． （不等式选讲）求函数
的最大值．
答案：函数的定义域为
，且y＞0．
． ………6分
当且仅当
时，取“=”，
……………………………………………8分
即
时函数取最大值
． …………………………………………………………10分
二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
5． 答案：（1）
． ……………………………………………………4分
（2）对随机变量X来说，这是一个二项分布，于是
，k=0，1，2，3．
即P(X=0)=
，P(X=1)=
，P(X=2)=
，P(X=3)=
．………………………………8分
也就是
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
E(X)=0×+1×+2×+3×=
．…………………………………………………10分
（或E(X)=np=3×
=．）
6． 已知点F(0，1)，点P在x轴上运动，M点在y轴上，N为动点，且满足
，
．
（1）求动点N的轨迹C方程；
（2）由直线y= -1上一点Q向曲线C引两条切线，切点分别为A，B，求证：AQ⊥BQ．
答案：（1）设N(x，y)．
因，故P的坐标为(
，0)，M(0，-y)，于是，
，
．
因，即得曲线C的方程为x2=4y． ………………………………………………5分
（2）设Q(m，-1)．由题意，两条切线的斜率k均存在，故可设两切线方程为y=k(x-m)-1．
将上述方程代入x2=4y，得x2-4kx+4km+4=0．
依题意，⊿=(-4k)2-4(4km+4)=0，即k2-mk-1=0．
上述方程的两根即为两切线的斜率，
由根与系数的关系，其积为-1，即它们所在直线互相垂直．…………………………………10分