高三数学第三次月考试卷试题
命题：周家忠 校对：周家忠
第I卷
一.选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．
1、从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A.恰有1个白球;恰有2个白球 B.至少有1个白球; 至少有1个红球
C.至少有1个白球;都是白球 D.至少有1个白球;都是红球
2、若函数y=f(x+1)的定义域是［－2,3］,则y=f(2x－1)的定义域为（ ）
A.［0,
］ B.［－1,4］ C.［－5,5］ D.［－3,7］
3.若三点
、
、
不共线,则“存在唯一一对实数
、
,使
”是“
点在直线
上”的（ ）
.充分不必要条件
.必要不充分条件
.充要条件
.既不充分也不必要条件
4．已知函数
，则函数
的图像可能是( )
5.给出下列四个命题：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱。
其中正确的命题的个数为（ ）个
A、 0 B 、 1 C、 2 D、 3
6．函数f (x)为奇函数且f (3x+1)的周期为3，f (－1)=－1，则f (2008)等于（ ）
A．0 B．1 C．一1 D．2
7、如图2，一圆形纸片的圆心为O, F是圆内一定点，
M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹
平纸片，折痕为CD, 设CD与OM交于P, 则点P的轨迹
是（ 
）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D. 圆
8、如图所示是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有( )
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
9、已知三个正实数
、
、
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
.
.
.
.
10.甲、乙两工厂2007年元月份的产值相等,甲厂的产值逐月增加,且每月增加的产值相同;乙厂产值也逐月增加,且每月增长的百分率相同,若2008年元月份两厂的产值又相等,则2007年7月份产值一定是 （ ）
A.甲厂>乙厂 B.乙厂>甲厂 C.相等 D.不能确定
第Ⅱ卷
二.填空题: 本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11、命题：“已知
，若
”的逆否命题是：
12．已知函数
，则其导函数
展开式中含
的项的系数为
13. 若
，且
，则
的值是
14. 如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
，则此正六棱锥的侧面积是________．
15、已知双曲线
的离心率
为
， 若它的一条准线与抛物线
的准线重合。
设双曲线与抛物线的一个交点为,抛物线的焦点为
，则
16.定义:设有限集合
,
,则
叫做集合的模,记作
.若集合
,集合的含有三个元素的全体子集分别为
,则
=__________(用数字作答).
三.解答题:本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知向量
，
，其中
．记
．
（1）若
的最小正周期为
，求函数的单调递增区间；
（2）若函数图象的一条对称轴的方程为
，求
的值．
18.(本小题满分14分)
已知直线
与双曲线
有A、B两个不同的交点.
（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点O，试求k的值；
（2）是否存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线
对称？试述理由.
19.(本小题满分14分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点.
(1)判定AC与平面B1DE的位置关系，并证明;
(2)求证：平面B1DE⊥平面B1BD;
(3)求二面角B—B1E—D的大小.
20．（本小题满分14分）已知点集
，其中
，又知点列
，
为
与
轴的的交点．等差数列
的公差为1，
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若
，求出
的值；
（Ⅲ）对于数列
，设
是其前
项和，是否存在一个与无关的常数
，使
，若存在，求出此常数，若不存在，请说明理由．
21. (本小题满分16分)若定义在区间D上的函数y＝f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式≤f（）成立，则称函数y＝f（x）为区间D上的凸函数．
（1）证明：定义在R上的二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）是凸函数；
（2）设f（x）＝ax2＋x（a∈R，a≠0），并且x∈［0，1］时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围，并判断函数f（x）＝ax2＋x（a∈R，a≠0）能否成为R上的凸函数；
（3）定义在整数集Z上的函数f（x）满足：
①对任意的x，y∈Z，f（x＋y）＝f（x）f（y）；
②f（0）≠0，f（1）＝2．
试求f（x）的解析式；并判断所求的函数f（x）是不是R上的凸函数说明理由．
高三数学第三次月考试卷试题
数学试题参考答案
一.选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1、A 2、A 3、B 4、A 5、 A
6、B 7、A 8、C 9、C 10、A
二.填空题: 本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11、已知 ，若
；
12、
；
13、11；
14、6
；
15、4；
16、3600 .
三.解答题:本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
解：
（1）
．
∵
，∴
，∴
．
由
得
．
故函数的单调递增区间为
．（8分）
（2）∵直线是函数图象的一条对称轴，∴
，
，
得
．又∵，∴令
，得
．（12分）
18.(本小题满分14分)
解：（1）设
，则以AB为直径的圆恰好过原点O的充要条件是
，即
…①
由
消去y得 
…②
将其代入①得
，解得
或
当时，方程②为
，有两个不等实根；
当
时，方程②为
，有两个不等实根.
故当或时，以AB为直径的圆恰好过原点O. （8分）
（2）若
关于直线对称，
则
将④整理得
因为
所以
，解之，得
这个结果与③矛盾.
故不存在这样的k，使两点A、B关于直线对称. （14分）
19.(本小题满分14分)
(1)证明：延长B1E交BC的延长线于M，
∵E为CC1的中点，
∴Rt△ECM≌Rt△EC1B1.
∴CM=B1C1=AD.又CM∥AD,
∴ACMD为平行四边形.
∴AC∥DM.
又AC
平面B1DE，DM
平面B1DE，
∴AC∥平面B1DE. （5分）
(2)证明：∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AC.
又ABCD为正方形，
∴BD⊥AC.
∴AC⊥平面BDB1.
∵DM∥AC,
∴DM⊥平面BDB1.
又DM平面B1DE,
∴平面B1DE⊥平面B1BD. （10分）
(3)解：作BH⊥B1D于H，由(2)知BH⊥平面B1DE，作OH⊥B1E于O，连结BO,则BO⊥B1E，
∴∠BOH为二面角B—B1E—D的平面角.
在Rt△B1BD中，BH=
=
,连结BE，则BO是等腰△BB1E的腰B1E上的高，
∴BO=
=
.
在Rt△BHO中，sin∠BOH=
=
,
∴二面角B1—BE—D的大小为arcsin. （14分）
20. (本小题满分14分)
解：（1）由题设有
，故L为直线
，它与
轴的交点为
（ 2分 ）
，又数列
是以1为公差的等差数列，所以
，
故
（ 5分 ）
（2）
（ 5分 ）
当
为奇数时，
；
当为偶数时，
． （ 10分 ）
（3）
，假设存在与
无关的常数
，使
即
，故存在与无关的常数
，使．（ 14分 ）
21. (本小题满分16分)
证明：（1）对任意x1，x2∈R，当a＜0，
有［f（x1）＋f（x2）］－2f（）＝ax12＋bx1＋c＋ax22＋bx2＋c－2［a（）2＋b（）＋c］＝ax12＋ax22－a（x12＋x22＋2x1x2）＝a（x1－x2）2 3分
∴当a＜0时，f（x1）＋f（x2）≤2f（），即≤f（）
当a＜0时，函数f（x）是凸函数． 5分
（2）当x＝0时，对于a∈R，有f（x）≤1恒成立；当x∈（0，1］时，要f（x）≤1恒成立，即ax2≤－x＋1，∴a≤－＝（－）2－恒成立，∵x∈（0，1］，∴≥1，当＝1时，（－）2－取到最小值为0，∴a≤0，又a≠0，∴a的取值范围是（－∞，0）．
由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f（x）是凸函数 11分
（3）令x＝y＝0，则f（0）＝［f（0）］2，∵f（0）≠0，∴f（0）＝1， 12分
令y＝－x，则1＝f（0）＝f（x－x）＝f（x）f（－x），故f（x）＝；
若n∈N*，则f（n）＝f［（n－1）＋1］
＝f（n－1）f（1）＝2f（n－1）＝…＝［f（1）］2； 14分
若n＜0，n∈Z，则－n∈N*，∴f（n）＝＝＝2n；∴x∈Z时，f（x）＝2x．
综上所述，对任意的x∈Z，都有f（x）＝2x； 15分
∵［20＋21］＝＞，所以f（x）不是R上的凸函数． 16分
（对任意x1，x2∈R，有［f（x1）＋f（x2）］＝［2x1＋2x2］≥×2＝f（），
所以f（x）不是R上的凸函数． 16分）