高三数学第二学期期初联考试题
(考试时间：120分钟+30分钟 总分160分+40分)
命题人：朱占奎（ 江苏省靖江中学） 戴年宝（ 江苏省姜堰中学） 龚留俊（ 江苏省泰兴中学）
审题人：蔡德华（泰兴市第二高级中学） 石志群（泰州市教研室）
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
参考公式：
次独立重复试验恰有
次发生的概率为：
样本数据
，
，
，
的方差
（
为样本平均数）
锥体体积公式
柱体体积公式
（其中
为底面面积、
为高） 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 
，
A．必做题部分
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．已知集合
≤
，
，则集合A中所有元素之和为 ▲ ．
2．如果实数
和非零向量
与
满足
，则向量和 ▲ ．
（填“共线”或“不共线”）．
3．△
中，若
，
，则
▲
．
4．设
，
为常数．若存在
，使得
，则实数a的
取值范围是 ▲ ．
5．若复数
，
，
，且
与
均为实数，
则
▲ ．
6． 右边的流程图最后输出的的值
是 ▲ ．
7．若实数
、
{
，
，
，
}，且
，则曲线
表示焦点在
轴上的双曲线的概率是
▲ ．
8． 已知下列结论：
① 
、
都是正数
，
② 、、
都是正数
，
则由①②猜想：
、、、
都是正数
9．某同学五次考试的数学成绩分别是120， 129， 121，125，130，则这五次考试成绩
的方差是 ▲ ．
10．如图，在矩形
中，
，
，以
为圆心，1为半径作四分之一个圆弧
，在圆弧
上任取一点
，则直线
与线段
有公共点的概率
是 ▲ ．
第10题图
11．用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图，则这个几何体的体积最大是 ▲ cm3．
图1（俯视图） 图2（主视图）
第11题图
12．下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 用水量 | 4.5 | 4 | 3 | 2.5 |
由其散点图可知，用水量与月份
之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程
是 ▲ ．
13．已知
平面内一区域，命题甲：点
；命题乙：点
．如果甲是乙的充分条件，那么区域的面积的最小值是
▲ ．
14．设是椭圆
上任意一点，和
分别是椭圆的左顶点和右焦点，
则
的最小值为
▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
直三棱柱
中，
，
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）求三棱锥
的体积．
16．（本小题满分14分）
某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
（1）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；
（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？
17．（本小题满分14分）
如图，已知圆心坐标为
的圆
与轴及直线
分别相切于、
两点，另一圆
与圆外切、且与轴及直线分别相切于
、
两点．
（1）求圆和圆的方程；
（2）过点B作直线
的平行线
，求直线被圆截得的弦的长度．
18．（本小题满分14分）
已知函数
，
．
（1）求函数
在
内的单调递增区间；
（2）若函数在
处取到最大值，求
的值；
（3）若
（），求证：方程
在
内没有实数解．
（参考数据：
，
）
19．（本小题满分16分）
已知函数
（）的图象为曲线．
（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分18分）
已知数列
的通项公式是
，数列
是等差数列，令集合
，
，
．将集合
中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为
．
（1）若
，，求数列的通项公式；
（2）若
，数列的前5项成等比数列，且
，
，求满足
的正整数的个数．
B．附加题部分
三、附加题部分（本大题共6小题,其中第21和第22题为必做题，第23～26题为选做题，请考生在第23～26题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
21．（本小题为必做题，满分12分）
已知直线
被抛物线
截得的弦长
为20，
为坐标原点．
（1）求实数的值；
（2）问点位于抛物线弧
上何处时，△面积最大？
22．（本小题为必做题，满分12分）
甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．
（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；
（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为
，求随机变量的期望
．
23．（本小题为选做题，满分8分）
如图，在△中，是
的中点，
是
的中点，
的延长线交于.
（1）求
的值；
（2）若△
的面积为
，四边形
的面积为
，求
的值．
24．（本小题为选做题，满分8分）
已知直线的参数方程：
（
为参数）和圆的极坐标方程：
．
（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）判断直线和圆的位置关系．
25．（本小题为选做题，满分8分）
试求曲线
在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M =
，N =
．
26．（本小题为选做题，满分8分）
用数学归纳法证明不等式：
．