高三数学第二学期调研测试

高三数学第二学期调研测试

数学试题 　　 

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试用时120分钟．

注意事项：

答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内．选择题答案按要求填涂在答卷纸上；非选择题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内，答案不写在试卷上．考试结束，将答卷纸收回．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)＝P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P_n(k)＝CP^k(1－P)^nk．

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：每题5分

1、已知为实数，集合，，表示把中的元素映射到集合中仍为，则等于　　　　　　　　　　　　　　　　  （　　 ）

　　 A. 　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　 D.

2、已知：是直线，是平面，给出下列四个命题：（1）若垂直于内的两条直线，则；（2）若，则平行于内的所有直线；（3）若且则；（4）若且则；（5）若且则。

其中正确命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

  A．0　 　　　　　 B. 1　　　　　　　 C. 2　 　　　　　　 D. 3

3、为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），

那么在这100株树木中，底部周长小于110cm

的株数是

　A．30　　　 　　　　B．60

C．70　　　　　　　 D．80

4、若指数函数的部分对应值如下表：

x	－2	0
	0.592	1

则不等式(x)<0的解集为　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　　)

A． 　　　B．　　 C．　　　　 D．

5、数列{a_n}满足：a₁ = 1，且对任意的都有：，则

=（　 ）

A、　　　 　 B、　　　　  C、　　　　 D、

6、已知sinx－siny= －，cosx－cosy= ，且x，y为锐角，则tan(x－y)的值是　(　　 )

 A．　　　　 B．－　　　　 C．±　　　 D．

7、已知抛物线的方程为y²=2px (p>0), 且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2, 若点M在此抛物线上运动, 点N与点M关于点A(1, 1)对称, 则点N的轨迹方程为 (　　　 )

A. x²=8y　　　　　　 B. (x-2)²=8(y-2)　　 C. (y-2)²=-8(x-2) 　　　D. (y-2)²=8(x-2)　　

8、已函数f(x)= x²+2xf '(1), 则曲线y=f（x）在处的切线方程为　　　　 （　　 ）

A. 　　　　　B. 　　　 　C. 　　　　 D.

9、已知中 ，角的对边分别为，为边上有高，以下结论：①;②为锐角三角形③

④，其中正确的个数是（　　）

A．1　　　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　 　D．4

10、已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的、，满足，，（），（）。考查下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④为等差数列。其中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　 ）

A、①②③　　　　B、①③④　　　　 C、③④　　　　D、①③

二、填空题：每题5分

11、设集合A=，B=，若A∩B≠，则实数a的取值范围___________________________。

12、三棱锥中，平面ABC，，若，则该三棱锥外接球的体积是　　　　　　　．

13、按下列程序框图来计算：

如果x=5,应该运算　　　　次才停止。

14、三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲方手中的概率为　　　　　　　　　　　 .

15、直线过点，若可行域的外接圆直径为．则实数n的值是　　　　 ．

16、对于函数f(x)=x²(x＞0)图象上任意两点A（a,a²）,B(b,b²),直线段AB必在曲线段AB的上方，设点C分的比为，则由图象的特征可得不等式.请分析y=lgx的图象特征，类比上述不等式可以得到　　　　

三、解答题：

17、田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A₁、A₂、A₃；田忌的三匹马B₁、B₂、B₃；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜，双方均不知对方的马出场顺序。

 （1）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示：A₁>B₁>A₂>B₂>A₃>B₃；则田忌获胜

的概率是多大？

 （2）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示：A₁>B₁>A₂>B₂>B₃>A₃；则田忌获胜

的概率是多大？

18、（本题满分15分）如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱的中点，为的中点．

（1）求证：；

（2）求直线到平面的距离；

（3）求二面角的大小．

19、（本题满分14分）已知数列{a _n}前n项的和为S _n，前n项的积为，且满足。

①求；　　　　  ②求证：数列{a _n}是等比数列；

③是否存在常数a，使得对都成立？

　 若存在，求出a，若不存在，说明理由。

20、（本小题满分14分）飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km,C在B的北偏东30⁰，相距4km,P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s.

（1）求A、C两个救援中心的距离；

（2）求在A处发现P的方向角；

（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论.

21、（本题满分15分）已知函数，， 的最小值恰好是方程的三个根，其中．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设，是函数的两个极值点．

①若，求函数的解析式；

②求的取值范围．

数学试题参考答案

一、　　　　　　 选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	C	B	C	D	D	B	C	A	B	B

二、　　　　　　 填空题：

　11、  ；　　　　12、  ；　　　　  13、4；

14、　 ；　　15、 8 ；　16、

三、解答题：本大题共5小题，共70分

17、田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A₁、A₂、A₃；田忌的三匹 马B₁、B₂、B₃；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜，双方均不知对方的马出场顺序。

 （1）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示：A₁>B₁>A₂>B₂>A₃>B₃；则田忌获胜

的概率是多大？

 （2）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示：A₁>B₁>A₂>B₂>B₃>A₃；则田忌获胜

的概率是多大？

17、（1）解：田忌获胜的概率是；

（2）解：田忌获胜的概率是。

18、如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱的中点，为的中点．

（1）求证：；

（2）求直线到平面的距离；

（3）求二面角的大小．

18、 (1)证明:连结C₁E,则C₁E^A₁B₁,

又∵A₁B₁^C₁C,∴A₁B₁^平面EDC₁,∴A₁B­₁^DE,

而A₁B₁//AB,∴AB^DE.　 ·········································································5分

(2)取AB中点为F,连结EF,DF,则EF^AB,∴AB^DF.

　 过E作直线EH^DF于H点,则EH^平面DAB,∴EH就是直线A₁B₁到平面DAB的距离.

　 在矩形C₁EFC中,∵AA₁=AB=2,∴EF=2,C₁E=,DF=2,

∴在△DEF中,EH=,

故直线A₁B₁到平面DAB的距离为.　　　　 ···············································10分

(3)过A作AM^BC于M点,则AM^平面CDB,

　 过M作MN^BD于N点,连结AN,则AN^BD,∴∠ANM即为所求二面角的平面角,

　 在Rt△DCB中,BC=2,DC=1,M为BC中点,∴MN=,

　 在Rt△AMN中,tan∠ANM=,

　　故二面角A-BD-C的大小为arctan.　　  ··············································15分

19、（本题满分14分）已知数列{a _n}前n项的和为S _n，前n项的积为，且满足。

①求；　　　　  ②求证：数列{a _n}是等比数列；

③是否存在常数a，使得对都成立？

　 若存在，求出a，若不存在，说明理由。

19、①；③

20、（本小题满分14分）飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km,C在B的北偏东30⁰，相距4km,P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s.

（1）求A、C两个救援中心的距离；

（2）求在A处发现P的方向角；

（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收

到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论.

20、 解：（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则

　　则

　　　即A、C两个救援中心的距离为

（2），所以P在BC线段的垂直平分线上

又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且

∴双曲线方程为

BC的垂直平分线的方程为

联立两方程解得：

∴∠PAB＝120°所以P点在A点的北偏西30°处

（3）如图，设

又∵

即A、B收到信号的时间差变小

21、（本题满分14分）已知函数，， 的最小值恰好是方程的三个根，其中．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设，是函数的两个极值点．

①若，求函数的解析式；

②求的取值范围．

21、解：（Ⅰ）三个函数的最小值依次为，，，…………………… …3分

由，得　

∴　

，

故方程的两根是，．

故，．………………………4分

，即

∴　． …………………………………………………………5分

（Ⅱ）①依题意是方程的根，

故有，，

且△，得．

由………………………7分

 ；得，，．

由（Ⅰ）知，故，

∴　，

∴　．…………………………………………9分

②

（或）．　 ………………………………………11分

由（Ⅰ）

∵　，

∴　，

又，

∴　，

，（或） …………………13分

∴　．…………………………………15分