高三数学第二次联考试题卷
数 学（理工类）
命题者：南县一中:陈敬波、沅江一中:朱清明、长炼中学:吴湘波.
考试时量:120分钟,试卷满分:150分.
参考公式：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U = {1，2，3，4，5，6，7}，A = {3，4，5}，B = {1，3，6}，则A∩(
)等于 （ ）
A．{4，5} B．{2，4，5，7}
C．{1，6} D．{3}
2. 若
、
是两条不重合直线，
、
是两个不重合的平面，则∥的一个充分而不必要条件是（ ）
（A）
，
，∥且b∥
（B），
，且a∥b
（C）
，
，且∥
（D）∥，∥，且a∥b
3. 在等差数列
中，
，
，若
，则
的最小值为（ ）
（A）60 （B）62 （C）70 （D）72
4. 已知
，
，且满足
，则下列不等式恒成立的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5.以直线y= -x+1与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A x2=4y或y2=4x B x2=2y或y2=2x
C x2=-4y或y2=-4x D x2=2y或y2=-2x
6．定义： a × b = a b sin
，其中为向量a与b的夹角，若 a = 2， b = 5，a · b = – 6，则 a × b =（ ）
A．-8 B． 8 C．8或 – 8 D．6
7．已知
与
的图象如图所示，
则函数
的图象可以是
8.在某城市中，A、B两地有如右图所示道路网，从A地到B地最近的走法有（ ）种
A 25 B 
C 
D 
9．一个三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1，
，3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）
（A） 16π （B） 32π （C） 36π （D） 64π
10．定义在R上的函数f(x)，给出下列四个命题:
① 若f(x)是偶函数,则f(x+3)的图象关于直线x=-3对称；
② 若f(x+3)=-f(3-x),则f(x)的图象关于点(3,0)对称；
③ 若f(x+3)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=3对称;
④ y=f(x+3)与y=f(3-x)的图象关于直线x=3对称.
其中正确命题的个数有（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
试题卷 第 Ⅱ 卷 (非选择题，共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上。
11．设i是虚数单位，则
的虚部为 。
12. 已知变量
、
满足
则
的最大值为__________。
13．若
的展开式的第7项为
，则
14. 已知
服从正态分布N(5，4)，那么P(
)=____________.
15. 对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数
称为高斯函数或取整函数，如 f(2.1)=2；若
为数列
的前n项和，则
=____________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．(本大题满分12分)
已知锐角△ABC中，三个内角为A、B、C，两向量
，
，若
与
是共线向量，（1）∠A的大小；（2）求函数
取最大值时，∠B的大小
17. (本大题满分13分)
有A，B，C，D四个城市，它们都有一个著名的旅游点依此记为a，b，c，d把A,B,Ｃ,Ｄ和a,b,c,d分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连接一个城市与该城市的旅游点正确的得2分，连错的得0分；
（1）求该爱好者至少得2分的概率； （2）求所得分的数学期望？
18．(本大题满分13分) 在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
，M、N分别为AB、SB的中点.
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N—CM—B的大小；
（3）求点B到平面CMN的距离.
19．(本大题满分14分)
通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设
表示学生注意力随时间t (分钟)的变化规律(越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知：
(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过
适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
20．(本大题满分14分)
已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，右顶点为A，P是椭圆上任意一点，设该双曲线
：以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线在第一象限内的任意一点，且
。
（1）设
的最大值为
，求椭圆离心率；（2）若椭圆离心率
时，证明：总有
成立。
21．(本大题满分14分)
已知函数
(a为实常数)．
(1) 当a = 0时，求
的最小值；
(2)若在
上是单调函数，求a的取值范围；
(3)设各项为正的无穷数列
满足
证明：
≤1(n∈N*)．
参考答案:
一.1、A,2、C,3、B,4、D,5、C,6、B,7、A,8、C,9、A,10、D
二.11、-3；.12、1；13、
14、
15、
三.
16.解：
……(2’)
整理得：
……………………………(4’)
又A为锐角，
…………………(6’)
（2）由（1）知
………………………(7’)
故
……………………………(12’)
当B=600时，Y取得最大值。……………………(13’)
17. 设答对题的个数为y，得分为，y=0，1，2，4
，=0，2，4，8………(1’)
∵
， 
，
|
， 
……………………………………9分
则的分布列为
…………………………………10分
（2）E=
…………………………12分
答：该人得分的期望为2分……………………………………………………13分
18. 解：（1）取AC中点D，连结SD、DB.
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，又SB
平面SDB，
∴AC⊥SB-----------4分
（2）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连结NF，
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角---------------6分
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.
∵SN=NB，
∴NE=
SD==
=
，
且ED=EB.
在正△ABC中，由平几知识可求得EF=
MB=，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=
=2，
∴二面角N—CM—B的大小是arctan2-----------------------8分
（3）在Rt△NEF中，NF=
=
，
∴S△CMN=CM·NF=
，
S△CMB=BM·CM=2-------------11分
设点B到平面CMN的距离为h，
∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，
∴
S△CMN·h=S△CMB·NE，∴h=
=
.
即点B到平面CMN的距离为
--------13分
19. (1)解：当0＜t≤10时，
是增函数，且
3分
当20＜t≤40时，
是减函数，且
6分
所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟 7分
(2)解：
，所以，讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中 9分
(3)当0＜t≤10时，令
得：
10分
当20＜t≤40时，令
得：
12分
则学生注意力在180以上所持续的时间
所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题 14分
20．解：
（1）设
又
又
得
当
时
最大值为
。故
………………………(6’)
（2）由椭圆离心率
得双曲线
设
则
……………(7’)
① 当AB⊥x轴时,
.…………(9’)
②当
时.
………………………………………………(12’)
又
与
同在
或
内……………(13’)
=
总=有成立。…………………………(14’).
21. (1)
当a≥0时，
在[2，＋∞)上恒大于零，即
，符合要求； 2分
当a＜0时，令
，g (x)在[2，＋∞)上只能恒小于零
故△＝1＋4a≤0或
，解得：a≤
∴a的取值范围是
6分
(2)a = 0时，
当0＜x＜1时
，当x＞1时，∴
8分
(3)反证法：假设x1 = b＞1，由
，
∴
故
，即
①
又由(2)当b＞1时，
，∴
与①矛盾，故b≤1，即x1≤1
同理可证x2≤1，x3≤1，…，xn≤1(n∈N*) 14分