高三数学第四次调研测试试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:
1．本试卷共4页，包含选择题(第1题～第10题，共10题)、填空题(第11题～第16题共6题)、解答题(第17题～第21题，共5题)三部分。本次考试时间为120分钟,考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。
3．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。．
4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、选择题：本大题共10小题。每小题5分．共50分,在每小题给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的.
|
|
＜
＜0
，B=
＜-1，则下列阴影部分所表示的集合为
A 
≤-3 B ＜＜-1 C ＜＜0 D -1≤＜0
2．若命题甲：p且q是真命题；命题乙：p或q是假命题，则命题甲是命题乙的
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D不充分也非必要条件
3．以线段AB ：x+y-2=0（0≤x≤2）为直径的圆的方程为
A 
B 
C 
D 
4．已知直线
和平面
，给出下列四个命题
⑴ 若
则
∥
⑵ 若
则∥
⑶ 若∥
则
∥
⑷ 若∥ 
则∥
A ⑴ B ⑴ ⑶ C ⑶ ⑷ D ⑴⑷
5．为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重（kg）得到如下频率分布直方图，据图可得这100名学生体重在[56．5，64．5]的学生的人数为
A 20
B 30
C 40 D 50
6．掷一个筛子的试验事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A+
发生的概率为
A
B 
C 
D 
7．已知向量
∥
则tan（
）=
A
3 B -3 C D 
8．已知公差不为零的等差数列
与等比数列
，满足
则有
A 
B 
C 
D 
9．若点p（x，y）到点A（0，4），B（-2，0）的距离相等，则
的最小值为
A
2 B 4 C 
D 
10．已知函数
＜0，则
的取值范围
A 
B 
C 
D 
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分,不需要写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
11．在4和67之间插入一个n项的等差数列后，仍是一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n的值为 ▲
12．若正四棱锥的棱长都相等，则其侧面与低面所成角的余弦值为 ▲
13．设函数
（＞0且≠1），
，则不等式
＜0的解为 ▲
14．设函数
，则其导函数
′
展开式中
的系数是 ▲
15．若实数x，y满足条件
≥0，且1≤x≤5，则
的最大值是
▲
16．现有3种不同品牌的电脑各两台（同一品牌的两台电脑看作相同的），要将它们平均分配到三个不同的办公室，则不同的分配方法有 ▲ 种（数字作答）
三、解答题：本大题共5小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数
，其中
＞0，且
的图象相邻两对称轴的距离不小于
（1） 求的取值范围
（2） 设
分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，
，且当最大时
，求△ABC周长的最大值
18．（本小题满分14分）
已知双曲线M与椭圆
有相同的焦点， 且右准线与抛物线
的准线重合
（1） 求双曲线M的标准方程
（2）
是否存在实数k，使得y=kx+3与双曲线M相交于A、B两点，且
（O为坐标原点），并说明理由
19．（本小题满分14分）
|
中，AB=BC=4，
， E、F分别是AD和
，
、
分别是上下底面的中心
（1）
求证：AF
平面
（2）
求点到平面的距离
（3）
求异面直线BE与F所成角的余弦值
20．（本小题满分14分）
某汽运集团公司生厂一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价13万元/辆，年销售量为5万辆。本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售。设本年度成本价比上年度降低了x（0＜x＜1）倍，本年度出厂价比上年度降低了0．9x倍
（1） 若本年度年销售量比上年度增加了0．6x倍，问x在什么取值范围时，本年度的年利润[年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的成本价）×年销售量]比上年度有所增加？
（2）
若本年度年销售量y关于x的函数y=2007（-
）则当x为何值时，本年度年利润的最大？
21．（本小题满分16分）
已知函数=
（1） 当
时，求的解析式
（2）
设
，
求证：
高三年级第四次调研测试
数学参考答案及评分标准
说明：
1、 本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制定相应的评分细则。
2、 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后续部分的解答有较严重的错误，就不给分。
3、 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4、 给分或扣分以1分为单位，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。
11．20； 12．
； 13．{x-1<x<0,或0<x<1}； 14．-96； 15．5； 16．21
三、解答题
17．（Ⅰ）
………………………………3分
，
…………………………4分
由题意可知
解得
…………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
的最大值为1，
，
而
，
……………………8分
由正弦定理得
=
………………11分
当
时，b+c的最大值为
∴
周长的最大值为
……………………………………………12分
18．（Ⅰ）易知，椭圆
的半焦距为：
，…………………………1分
又抛物线
的准线为：
.
…………………………2分
设双曲线M的方程为
，依题意有
，……………………3分
故
，又
.
∴双曲线M的方程为
.
…………………………6分
（Ⅱ）设直线
与双曲线M的交点为
、
两点
联立方程组
消去y得
，
∵、两点的横坐标是上述方程的两个不同实根，
∴
,
,
， ………………9分
从而有
，
.又
，
∴
.
若
，则有 
，
即
.
…………………………13分
，
∴实数k不存在. …………………………14分
19．（Ⅰ）连结BF，易证在矩形BCC1B1中
∵BF是AF在面BC1内的射影
∴由三垂线定理知
……………2分
同理可证
，又
故AF⊥平面FD1B1． …………………………4分
（Ⅱ）连结BD
∵
,
∴O点到平面FD1B1的距离等于B点到平面FD1B1的距离……………………6分
设B点到平面FD1B1的距离为h，由三棱锥
体积得
…………………………8分
，解得
∴O点到平面FD1B1的距离等于
．
…………………………10分
（Ⅲ）在平面A1C1内过B1作
交A1D1于M
过O1点作
交B1C1于N，∵
∴
为异面直线EB与O1F所成角（或其补角）…………………………12分
在
中，易求FN=5；在
中，易求FO1=
,
在
中，
在
中，
∴异面直线EB与O1F所成角的余弦值为
． …………………………14分
20．（Ⅰ）本年度年利润为
……………………3分
要使本年度的年利润比上年度有所增加，则有
解得
…………………………6分
（Ⅱ）本年度年利润为w(x)=
=2007（
）…………………8分
………………………10分
令
，解得
∵0＜x＜1
∴函数W(x)在
上递增，
上递减 …………………………………12分
故当
时，W(x)取最大值
∴当时，本年度的年利润最大． ……………………………………14分
21．(Ⅰ)当
时，
； ……………………………………………………1分
当
时（此时
），
；
当
时（此时
），
；
当
时（此时
），
；
……………………………………………5分
综上，
…………………………………6分
(Ⅱ)根据题意得，
，
，
以上各式累加，得
，又
，
…………………………………………………8分
=
=
=
…………………………………………………10分
∵
∴
………………………………………12分
=
………………………14分
∴
∴
………………………………………16分