高三数学八校联考测试试题
一、填空题（4′×12）：
1、不等式
的解集是 
。
2、（理）设
、
是方程
的两根，则
。
（文）设、是方程的两根，则
。
3、数列
中的第2010项是 
。
4、集合
非空，则
中所有元素的和是 
。
5、若
，则复数
的模是 
。
6、已知函数
的反函数是
，则方程
的解是 
。
7、已知数列
是公差不为零的等差数列，设
，则数列
的前
项和
的表达式可以
是 
。（用
中的项表示）
8、关于函数
有下列命题：①
的定义域是
；②是偶函数；③在定义域内是增函数；④的最大值是
，最小值是。其中正确的命题是 ②④ 。（写出你所认为正确的所有命题序号）
9、走廊上有一排照明灯共
盏，为了节约用电，要关掉其中的三盏。如果关掉的三盏灯不是两端的灯，且任意两盏都不相邻，就不会影响照明，那么随机关掉其中的三盏灯，影响照明的概率是
。 
10、（理）设函数的图像与直线
及
轴所围成图形的面积称为函数在
上的面积。已知函数
在
上的面积为
，则函数
在
上的面积为 
。
（文）设函数的图像与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积。已知函数在上的面积为，则函数
在上的面积为 
。
11、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的
。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的
，请从这个实事中提炼出一个不等式组是 
。
12、（理）已知
，记
，（其中
），例如：
。设
，且满足
，则有序数组
是 
。 
（文）在
中，
的面积为
，则
的值为 
。
二、选择题（4′×4）：
13、设、
是两个集合，对于
，下列说法正确的是
（ D
）
A．存在
，使
B．
一定不成立 C．不可能为空集 D．是的充分条件
14、（理）若
，则
一定不属于的区间是
( C )
A．
B．
C．
D． 
（文）若，则一定不属于的区间是
( D )
A．
B． C．
D．
15、（理）满足不等式
的正整数的个数记为
，的前项和记
为，则
（ A
）
A．
B．
C．
D．
（文）已知等比数列
的公比是不为
的正数，数列
满足
，当
，
时，数列的前
项和最大，则的值为
（ C
）
A．
B．
C．
D．
16、已知函数
，则函数
的图像可能是
（
A ）
二、解答题（本大题满分86分，共6题）：
17、（12′=9′+3′）（理）设
表示幂函数
在
上是增函数的
的集合；
表示不等式
对任意
恒成立的的集合。（1）求
；（2）试写出一个解集为的不等式。
（文）设表示幂函数
在上是增函数的的集合；表示不等式
对任
意恒成立的的集合。（1）求
；（2）试写出一个解集为的不等式。
解：（理）（1）∵幂函数在上是增函数，∴
，即
，
又不等式对任意恒成立，∴
，即
，
∴
。
（2）一个解集为的不等式可以是 
。
（文）（1）∵幂函数在上是增函数，∴
，即
，
又不等式对任意恒成立，∴
，即
，
∴
。
（2）一个解集为的不等式可以是 
。
18、（12′=6′+6′）已知复数
，
（1）当
时，求
的取值范围；
（2）（理）是否存在实数
，使得
，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
（文）是否存在实数，使得
，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
解：（1）∵，∴
。
（2）（理）∵，∴
为纯虚数，∴
（文）∵，∴
，∴
（舍去）
。
19、（14′=9′+5′）已知
，关于的一元二次方程
的两实数根
、
满足
，且
，
（1）求数列
和
的通项公式；（2）求
的值。
解：（1）∵，且，
∴
，
∴
是一个以为首项，
为公差的等差数列。∴
，
∴
。
（2）
。20、（16′=4′+12′）已知函数
，
（1）在右侧坐标系中作出函数的草图；
（2）研究其值域、奇偶性和单调性，并分别加以证明。
解：（1）
，
（2）的值域为
。
∵
，∴是偶函数。
任取
，则
，即
，∴在
上是增函数，
又是偶函数，∴在
上是减函数。
21、（14′=8′+6′）为了能更好地了解鲸的生活习性，某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子监测装置。从海岸放归点处（如图所示）把它放归大海，并沿海岸线由西向东不停地对鲸进行了
分钟的跟踪观测，每隔分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动）。然后又在观测站处对鲸进行生活习性的详细观测。已知
，观测站的观测半径为
。
 |
（Ⅰ）根据表中数据：①计算鲸沿海岸线方向运动的速度，②写出、
满足的关系式并画出鲸的运动路线简图；
（Ⅱ）若鲸继续以（Ⅰ）中②的运动路线运动，则鲸大约经过多少分钟（从放归时计时），可进入前方观测站的观测范围（精确到分钟）？
解：（Ⅰ）由表中数据知：①鲸沿海岸线方向运行的速度为
（km/分钟），②、满足的关系式为
，
鲸的运动路线图如图：
 | |||
 | |||
（Ⅱ）如图，设鲸所在的位置为点，点位于点
的正北方向
，点位于点的正东方向
由（Ⅰ）知。
又，依题意，当鲸到观测站的距离不大于
时进入观测站的观测范围，∴
，∴
，即 
， ∴
。
故鲸从A点进入前方观测站B所用的时间大约为
（分钟）。
答：鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围。
22、（18′=4′+8′+6′）（理）已知
为正常数。
（1）可以证明：定理“若、
，则
（当且仅当
时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若
在
上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测
的单调性（无需证明）；
（3）对满足（2）的条件的一个常数，设
时，取得最大值。试构造一个定义在
上的函数
，使当
时，
，当
时，取得最大值的自变量的值构成以
为首项的等差数列。
解：（1）若、、
，则
（当且仅当
时取等号）。
（2）
在上恒成立，即
在上恒成立，
∵
，∴
，即
，
又∵
∴
，即
时，
，
又∵
，∴
。
综上，得
。
易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，∴
时，函数有最小值。
故猜测：
时，单调递减；
时，单调递增。
（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。
如对
，
，此时
，
即 
。
（文）已知函数
，
，
（Ⅰ）当
时，若在
上单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对
：当是整数时，存在
，使得
是的最大值，
是的最小值；
（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在
，且
上的函数
，使当
时，
，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。
解：（Ⅰ）当时，
，
若
，
，则在上单调递减，不符题意。
故
，要使在上单调递增，必须满足
，∴
。
（Ⅱ）若，
，则无最大值，故，∴为二次函数，
要使有最大值，必须满足
，即
且
，
此时，
时，有最大值。
又取最小值时，
，依题意，有
，则
，
∵且，∴
，得
，此时
或
。
∴满足条件的实数对是
。
（Ⅲ）当实数对是时，
依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。
如对
，
，
此时，
，
故
。