高三数学第一学期期末质量调研试题
命题人：杨敏忠 孙福明 审卷人：于新华 徐淮源 周敏泽
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷分为第Ⅰ卷（必做题）和第Ⅱ卷（附加题）两部分．第Ⅰ卷（必做题）包括选择题和解答题两种题型，满分为160分，考试时间为120分钟；第Ⅱ卷（附加题）由解答题组成，满分40分，考试时间为30分钟.选修历史的考生只需完成第Ⅰ卷（必做题），选修物理的考生需完成第Ⅰ卷（必做题）和第Ⅱ卷（附加题）.
2.请将本试卷答案做在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.
第I卷(必做题)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.函数
的最小正周期是 ▲ .
2. 抛物线
的焦点坐标是 ▲ .
3. 已知复数
满足（
＋2i）＝5(i为虚数单位)，则＝____▲____．
4.已知
，则
值为
▲ .
5. 右边是根据所输入的
值计算
值的一个算法程序, 若依次取数列
中的前200项，则所得值中的最小值为 ▲ .
6. 已知一正方体的棱长为
，表面积为
；一球的半径为
表面积为
，若
，则
= ▲ .
7. 某人有甲乙两只电子密码箱，欲存放三份不同的重要文件，则此人使用同一密码箱存放放这三份重要文件的概率是 ▲ .
8. 若
，试写出方程
表示双曲线的一个充分不必要条件 ▲ .
9. 已知样本
的平均数是
，标准差是
，则
的值为 ▲ .
10.
若函数
在
上有意义，则实数
的取值范围是 ▲ .
11. 两个正数
的等差中项是5，等比中项是4.若
，则椭圆
的离心率e的大小为 ▲ .
12. 已知向量
直线l过点
且与向量
垂直，则直线l的一般方程是 ▲ .
13. 已知
均为实数，设数集
，且A、B都是集合
的子集.如果把
叫做集合
的“长度”，那么集合
的“长度”的最小值是 ▲ .
14．设
为正整数，两直线
的交点是
，对于正整数
，过点
的直线与直线
的交点记为
.则数列
通项公式
＝
▲
.
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分14分）
在
中， 
所对边分别为
.
已知
,且
.
（Ⅰ）求
大小.
（Ⅱ）若
求的面积S的大小.
16. （本小题满分15分）
如图，已知长方体
底面
为正方形，
为线段
的中点，
为线段
的中点.
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）设
的中点，当
的比值为多少时，
并说明理由.
17. （本小题满分15分）
已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线
的距离等于.
（Ⅰ）求圆C的方程.
（Ⅱ）若直线
与圆C相切，求证：
18. （本小题满分14分）
为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图,如图.已知前4组的频数从左到右依次是等比数列
的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列
的前六项．
(Ⅰ)求等比数列的通项公式;
（Ⅱ)求等差数列的通项公式；
(Ⅲ)若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率
的大小.
19．（本小题满分16分）
已知函数
的导数
为实数，
.
（Ⅰ）若在区间
上的最小值、最大值分别为
、1，求
、
的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点
且与曲线相切的直线
的方程；
（Ⅲ）设函数
，试判断函数
的极值点个数．
20. （本小题满分16分）
数列
中,
,其前项的和为
.
（Ⅰ）设
，求证：数列
是等差数列；
（Ⅱ）求的表达式；
（Ⅲ）求证：
.
第Ⅱ卷(附加题)
注意事项: 1.附加题包括必考题和选考题，第1、2题为必考题,每个考生都必须做答.第3、4、5、6题为选考题,考生根据要求做答.
2.附加题满分为40分，考试时间为30分钟，解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤．
一、必做题:
1. (本小题满分10分)
如图，在三棱锥
中，顶点
在空间直角坐标系的原点处，顶点
分别在、、轴上， 
是
的中点，且
，∠
.
（Ⅰ）当
时，求向量
与
夹角
的余弦值的大小；
（Ⅱ）当角
变化时，求直线
与平面
所成角的取值范围.
2.(本小题满分10分)
在一个盒子中，放有标号分别为，
，
，4的四个小球，现从这个盒子中，有放回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为、，记
.
（Ⅰ）求随机变量
的分布列；
（Ⅱ）求随机变量的数学期望；
（Ⅲ）设“函数
（
）在区间
上有且只有一个零点”为事件
，求事件发生的概率.
二、选做题：请考生在第3、4、5、6题中任选两题作答.如果多做，则以第3、4两题记分.
3. (本小题满分10分)
从⊙
外一点
向圆引两条切线
、
（、
为切点）和割线
与⊙交于、两点
从点作弦
平行于
，连结
交于,连结
,
求证：(Ⅰ)
；
(Ⅱ)
.
4. (本小题满分10分)
给定矩阵
=
，
=
．
（Ⅰ）求的特征值
，
及对应特征向量
，
（Ⅱ）求
．
5.(本小题满分10分)
设点为坐标原点,直线
与曲线:
（参数
）交于、两点.
（Ⅰ）求直线与曲线的普通方程；
（Ⅱ）求证：
.
6．（本小题满分10分）
已知关于的不等式
（
）.
(Ⅰ)当
时,求此不等式的解集;
(Ⅱ)若此不等式的解集为
,求实数的取值范围.