高三数学第一学期第3次月考试卷

高三数学第一学期第3次月考试卷

一、填空（4¢×12=48¢）

 1．若角x=-arccos，则tg2x= 　　　　　　　  。

 2．不等式x＜a的一个充分条件为0＜x＜1，则a的取值范围为 　　　　　　 。

 3．数列{}的通项公式为，则 　　　　　　　　 。

 4．若复数z=sin21+为纯虚数，则角θ组成的集合为 　　　　　  。

 5．已知函数，若f(x₀)＞1，则x₀ 　　　　　　　　 。

 6．△ABC中，若，则△ABC为 　　　　　  三角形。

 7．（川中班）（理）在极坐标系中，A(1，)，点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线

　　　　　　　　  段AB长最短时，点B的极坐标为 　　　　　　　　　　  。

　 （川中班）（文）实数x、y满足，则的取值范围为 　　　  。

　 （川中南校班）  　　　　　　　  。

 8．若数列{a_n}为等差数列，a₁＞0，a₂₀₀₅+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₅·a₂₀₀₄＜0，则使前n项和S_n＞0的最大自然数n=　　　　　　  。

 9．若a，b，则使恒成立的最小正数m= 　　　　　　　 。

10．6人分乘两辆出租车，每辆最多四人，则甲、乙两人坐在同一辆车的概率为 　　　  。

　　（答案用分数表示）

11．规定a△b=，a、b，若1△k=3，则函数f(x)=k△x的值域为 　　　  。

12．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：

　　　　

　　明文　　　　　　　　　  密文　　　　　  密文　　　　　　　  明文，

　　现在加密密钥为y=log_a(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，

　　再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密

　　后得到明文为 　　　　 。

二、选择（4¢×4=16）

13．已知数列{a_n}中，a_n=aⁿ (a＞0)，则　　　　　　　　　　　　　　（　　 ）

　 （A）-1；　　　　　（B）-1或；　　　（C）-1或或2；　（D）不能确定。

14．若log，则sinx的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　 （　　 ）

　 （A）；　　　　　　　　　　　（B）；　　　　　　　　

　 （C）；　　　　　　　 （D） 。

15．已知f(x)是周期为2的奇函数，当x时，f(x)=2^x，则f值　 （ 　　）

　 （A）；　　　　 （B）；　　　　　（C）；　　　　（D） 。

16．关于函数f(x)=sin²x，有下列四个结论：

　  ① f(x)为偶函数；　　 ② 当x＞2003时，f(x) ＞恒成立；

　  ③ f(x)的最大值为； ④ f(x)的最小值为。其中结论正确个数为　　　 （　　 ）

　 （A）1个；　　　　（B）2个；　　　　 （C）3个；　　　　（D）4个。

三、解答题（10+12¢+14¢+16¢+16¢+18¢）

17．已知A=，B=

　 （1）求A；　　　　　　　　　　　　　 （2）若A，求a的取值范围。

解：

18．某客运公司买了每辆2a万元的大客车投入运营，根据调查得知，每辆客车每年客运收

　　入约为a万元，且每辆客车第n年的油料费，维修费及其他各种管理费用总和P(n)（万

　　元）与年数n成正比，又知第3年每辆客车上述费用是该年客运收入的48%。

　 （1）写出每辆客车运营的总利润y(万元)与n的函数表达式；

　 （2）每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？

解：

19．已知：z₁=2cosx+sinx，z₂=a+b，a、b，为虚数单位，f(x)=cosx·Re

　　且f(0)=2，f，

　 （1）求z₂ ；

　 （2）求函数f(x)在（上的单调递增区间；

　 （3）若，且，求的值。

解：

20．设f(k)是满足不等式log₂x+log₂(3·2^k-1-x)≥2K-1，（k的自然数x的个数，

　 （1）求f(x)的解析式；

　 （2）记S_n=f(1)+f(2)+……+f(n)，求S_n解析式；

　 （3）记P_n=n-1，设T_n=，对任意n均有T_n＜m成立，

　　　　求出整数m的最小值。

解：

21．给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x₀，都有函数值f(x₀)，则

　　称函数y=f(x)在D上封闭。

　 （1）若定义域D₁=（0，1），判断下列函数中哪些在D₁上封闭，且给出推理过程

　　　　f₁(x)=2x-1，f₂(x)=，f₃(x)=2^x-1，f₄(x)=cosx.；

　 （2）若定义域D₂=（1，2），是否存在实数a使函数f(x)=在D₂上封闭，若存在，

　　　　求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由。

解：

22．函数f(x)满足2f(x)-f=4x，数列{a_n}和{b_n}满足下列条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+f(n)，

　　b_n=a_n+1-a_n，n；

　 （1）f(x)的解析式；

　 （2）求数列b_n的通项公式；

　 （3）试比较2a_n与b_n的大小，且证明你的结论。

解：

高三数学第一学期第3次月考试卷解答

1

一、填空（4¢×12=48¢）

 1．若角x=-arccos，则tg2x= 　 -24/7　  。

 2．不等式x＜a的一个充分条件为0＜x＜1，则a的取值范围为 　 a≥1　 。

 3．数列{}的通项公式为，则 　55/18　　 。

 4．若复数z=sin21+为纯虚数，则角θ组成的集合为 。

 5．已知函数，若f(x₀)＞1，则x₀Î 　(-¥ ,-1)È(1,+¥) 　  。

 6．△ABC中，若，则△ABC为 　等腰直角　 三角形。

 7．（川中班）（理）在极坐标系中，A(1，)，点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线

　　　　　　　　  段AB长最短时，点B的极坐标为 　 (,)　　 。

　 （川中班）（文）实数x、y满足  ，则的取值范围为  [,1]　 。

　 （川中南校班）  　　　　 。

 8．若数列{a_n}为等差数列，a₁＞0，a₂₀₀₅+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₅·a₂₀₀₄＜0，则使前n项和S_n＞0的最大

自然数n=　　 4008　  。

 9．若a，b，则使恒成立的最小正数m= 　 　  。

10．6人分乘两辆出租车，每辆最多四人，甲、乙两人坐在同一辆车的概率为 　 　  。

　　(答案用分数表示)

11．规定a△b=，a, b，若1△k=3，则函数f(x)=k△x的值域为 　(1,+¥ )　 。

12．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：

　　　　

　　明文　　　　　　　　　  密文　　　　　  密文　　　　　　　  明文，

　　现在加密密钥为y=log_a(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，

　　再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密后得

　　到明文为 　14　　 。

二、选择（4¢×4=16）

13．已知数列{a_n}中，a_n=aⁿ (a＞0)，则　　　　　　　　　　　　　　（　C　）

　 （A）-1；　　　　　　　　　　　　　　 （B）-1或；

　 （C）-1或或2；　　　　　　　　　　 （D）不能确定。

14．若log，则sinx的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　 （　B　）

　 A）；　　　　　　　　　　　　（B）；　　　　　　　　

　 （C）；　　　　　　　 （D） 。

15．已知f(x)是周期为2的奇函数，当x时，f(x)=2^x，则f值为 （　B　）

　 （A）；　　　　 （B）；　　　　　（C）；　　　　（D） 。

16．关于函数f(x)=sin²x，有下列四个结论：

　  ① f(x)为偶函数；　　 ② 当x＞2003时，f(x) ＞恒成立；

　  ③ f(x)的最大值为； ④ f(x)的最小值为。其中结论正确个数为　　　 （　B  ）

　 （A）1个；　　　　（B）2个；　　　　 （C）3个；　　　　（D）4个。

三、解答题（10+12¢+14¢+16¢+16¢+18¢）

17．已知A=，B=

　 （1）求A；　　　　　　　　　　　　　 （2）若A，求a的取值范围。

解：（1）A=，Þ A=（-¥，-3）È[4，+¥）；

　 （2）B=，Þ，∵A，

　　　 当a＞0时，Þ，Þ 0＜a＜4；　 当a=0时，Þ A，Þ a=0，

　　　 当a＜0时，Þ，Þ -3≤a＜0； 综上，Þ　-3≤a＜4

18．某客运公司买了每辆2a万元的大客车投入运营，根据调查得知，每辆客车每年客运收

　　入约为a万元，且每辆客车第n年的油料费，维修费及其他各种管理费用总和P(n)（万

　　元）与年数n成正比，又知第3年每辆客车上述费用是该年客运收入的48%。

　 （1）写出每辆客车运营的总利润y(万元)与n的函数表达式；

　 （2）每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？

解：（1）∵客车第n年的各种费用总和P(n)与年数n成正比，设，k为待定常数，

　　∵第3年费用是该年客运收入的48%，Þ，∴，Þ，

　　∴运营的总利润，nÎN

　 （2），

　　当且仅当时成立，nÎN，Þ n²=25，Þ n=5，∴运营5年可使其运营的年平

　　均利润最大且最大值为0.12a 。

19．已知：z₁=2cosx+sinx，z₂=a+b，a、b，为虚数单位，f(x)=cosx·Re

　　且f(0)=2，f，

　 （1）求z₂ ；

　 （2）求函数f(x)在上的单调递增区间；

　 （3）若，且，求的值。

解：（1）z₂=a+bi，a、bÎR，

　　ÞRe，Þ

　　，∵，Þ，Þ z₂=1+2 ；

　　（2），∵xÎ，∴，

　　 Þ，或，或，函数单调递增，

　　 Þ 在、或、或上，函数单调递增；

　　 ∴函数f(x)在上的单调递增区间为：（-p，-]、[-，]、[，p） 。

　 （3）Þ，Þ或，

　　 kÎZ，Þ或，kÎZ，∵，Þ，kÎZ，Þ

　　  。

20．设f(k)是满足不等式log₂x+log₂(3·2^k-1-x)≥2K-1，（k的自然数x的个数，

　 （1）求f(x)的解析式；

　 （2）记S_n=f(1)+f(2)+……+f(n)，求S_n解析式；

　 （3）记P_n=n-1，设T_n=，对任意n均有T_n＜m成立，

　　　　求出整数m的最小值。

解：（1）原不等式óó

ó (4分)Þ. (6¢)

　　（2）. (10¢)

　　（3）， (12¢)

　　　 当1≤n≤9时，¯，此时， (14¢)

　　　 当n≥10时，¯，此时，

　　　 ∴,. (16¢)

21．给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x₀，都有函数值f(x₀)，则

　　称函数y=f(x)在D上封闭。

　 （1）若定义域D₁=（0，1），判断下列函数中哪些在D₁上封闭，且给出推理过程

　　　　f₁(x)=2x-1，f₂(x)=，f₃(x)=2^x-1，f₄(x)=cosx.；

　 （2）若定义域D₂=（1，2），是否存在实数a使函数f(x)=在D₂上封闭，若存在，

　　　　求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由。

解：（1）∵f₁()=0Ï(0,1)，∴f(x)在D₁上不封闭；(2¢)

　　　　∵f₂(x)=-(x+)²+在(0,1)上是减函数，∴0＜f₂(1)＜f₂(x)＜f₂(0)=1，

　　　　∴f₂(x)Î(0,1)Þf₂(x)在D₁上封闭；(4¢)

　　　　∵f₃(x)=2^x-1在(0,1)上是增函数，∴0=f₃(0)＜f₃(x)＜f₃(1)=1，

　　　　∴f₃(x)Î(0,1)Þf₃(x)在D₁上封闭；(6¢)

　　　　∵f₄(x)=cosx在(0,1)上是减函数，∴cos1=f₄(1)＜f₄(x)＜f₄(0)=1，

　　　　∴f₄(x)Î(cos1,1)Ì(0,1)Þf₄(x)在D₁上封闭；(8¢)

　 （2）f(x)=5-，假设f(x)在D₂上封闭，对a+10讨论如下：

　　　　若a+10＞0,则f(x)在(1,2)上为增函数，故应有Þa=2 (10¢)

　　　　若a+10＝0，则f(x)=5，此与f(x)Î(1,2)不合，(12¢)

　　　　若a+10＜0，则f(x)在(1,2)上为减函数，故应有,无解,(14¢)

　　　　综上可得，a=2时f(x)在D₂上封闭.

22．函数f(x)满足2f(x)-f=4x，数列{a_n}和{b_n}满足下列条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+f(n)，

　　b_n=a_n+1-a_n，n，

　 （1）f(x)的解析式；

　 （2）求数列b_n的通项公式；

　 （3）试比较2a_n与b_n的大小，且证明你的结论。

解：（1） (4¢)

　 （2）由题设，a_n+1=2a_n+2n+1 ①, a_n+2=2a_n+1+2n+3 ②, ②-①：a_n+2-a_n+1=2(a_n+1-a_n)+2 (6¢)

即b_n+1=2b_n+2Þb_n+1+2=2(b_n+2),∴{b_n+2}为等比数列，q=2，b₁=a₂-a₁=4 (8¢)

b_n+2=6·2^n-1Þb_n=3·2ⁿ-2 (10¢)

　 （3）由上，a_n+1-a_n=3·2ⁿ-2 ③，a_n+1-2a_n=2n+1 ④，③-④：a_n=3·2ⁿ-2n-3 (12)

　　　　∴2a_n-b_n=3·2ⁿ-4n-4.

n＝1时，2a₁-b₁=-2＜0，此时2a_n＜b_n；

n＝2时，2a₂-b₂=0，此时2a_n＝b_n； (14¢)

n≥3时，3·2ⁿ=3(1+1)ⁿ=3(1+C+C+…+C+C)＞3(1+C+C)=6n+3＞4n+4,

　　　　此时，2a_n＞b_n.

综上可得：当n=1时，2a_n＜b_n，当n=2时，2a_n=b_n，当n≥3时，2a_n＞b_n. (18¢)