高三数学第一学期第三次阶段测试
数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案填在题中横线上
1．已知集合
，
，则
__ ▲ .
2．设
则
的值等于__ ▲ .
3．复数
在复平面上对应的点位于第 __ ▲ 象限.
4．在△ABC中，BC=1，
，当△ABC的面积等于
时，
__ ▲ .
5．设
是一次函数,
且
成等比数列, 则
…
__ ▲
6．四棱锥
的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如右图，则四棱锥 的表面积为__ ▲
7．函数
的图象恒过定点
，若点在一次函数
的图象上，其中
，则
的最小值为__ ▲ ．
8．设O是△ABC内部一点，且
的面积之比为__ ▲
9．若函数
是定义在（0，+
）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足
，则不等式
的解集为__ ▲
10．（理）若直线
与圆
交于M、N两点，并且M、N关于直线
对
称，则不等式组
表示的平面区域的面积是__ ▲
（文）不等式组
表示的平面区域的面积是__ ▲
11．已知函数的导数
处取到极大值，则a的取值范围是 ▲
12．若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点
、
与点
、
，则三角形面积之比为：
. 若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点
、
与点
、
和
、
，则类似的结论为：__
▲
13．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地面砖__ ▲ 块．
14．给出定义：若
（其中
为整数），则叫做离实数
最近的整数，记作
，即 
. 在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：
①函数
的定义域是R，值域是[0，
]；
②函数的图像关于直线
(k∈Z)对称；
③函数是周期函数，最小正周期是1；
④ 函数
在
上是增函数；
则其中真命题是__ ▲
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程
15．(本小题满分14分) 已知向量
=（sinB，1－cosB)，且与向量
（2，0）所成角为
，其中A, B, C是⊿ABC的内角． （1）求角Ｂ的大小； （2）求sinA+sinC的取值范围．
16．(本小题满分14分) 已知数列
满足
（Ⅰ）求证：数列
为等差数列；
（Ⅱ）试问
是否是数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由
17．(本小题满分15分) 设有关于的一元二次方程
．
（Ⅰ）若
是从
四个数中任取的一个数，
是从
三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若是从区间
任取的一个数，是从区间
任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
18．(本小题满分15分)
已知：正方体
，
，E为棱
的中点．
(Ⅰ) 求证：
；
(Ⅱ) 求证：
平面
；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积
19．(本小题满分16分) （理科做）已知⊙
由⊙O外一点P（a,b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足
（1）求实数a,b间满足的等量关系； （2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程。
（文科做）已知二次函数
满足：对任意实数x，都有
，且当
（1，3）时，有
成立。
（1）证明：
。
（2）若
的表达式。
（3）设
，若
图上的点都位于直线
的上方，求实数m的取值范围。
20．(本小题满分16分) 已知二次函数
同时满足：①不等式
的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在
，使得不等式
成立。设数列的前n项和
。
（1）求函数的表达式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设各项均不为零的数列
中，所有满足
的整数I的个数称为这个数列的变号数。令
（n为正整数），求数列的变号数
高三数学第一学期第三次阶段测试（加试）
（满分40分，答卷时间30分钟）
解答题（共4小题，每小题10分，共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1. （10分）求由曲线
与
，
，
所围成的平面图形的面积
2. （10分）已知矩阵
，其中
，若点P（1,1）在矩阵A的变换下得到点P’(0,-3)，
（1）求实数a的值； （2）求矩阵A的特征值及特征向量
3. （10分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令x表示甲，乙摸球后获得的奖金总额.
求：（I）x的分布列 （II）x的的数学期望
4. （10分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：
平面BCD；
（II）求点E到平面ACD的距离（用空间向量求解）
高三数学第一学期第三次阶段测试
数学试题必修部分答案
一、填空题：
1. 
2. 
3. 三 4，
5，
6，
7，8 8，1
9，（0，+） 10，
11，（0，+） 12，
13，
14，①②③
二、解答题：
15，解：（1）∵
=（sinB，1-cosB) , 且与向量
（2，0）所成角为
∴
………………………3’
∴tan
……………………7’
（2）：由（1）可得∴
……10’
∵
∴
……………………………………………………………………12’
∴
当且仅当
…………………………………………14’
16，解：（Ⅰ）当
…………2分
两边同除以
，…………4分
即
成立，
∴
为首项，d=4为公差的等差数列. …………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
……9分
∴
…………11分
设是数列的第t项，则
解得，t=11∈N*，………13分
∴是数列的第11项.…………14分
17. 解：设事件为“方程
有实根”．
当
，
时，方程有实根的充要条件为
．
（Ⅰ）基本事件共12个：
．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．
事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为
．
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为
．
构成事件的区域为
．
所以所求的概率为
．
18. 解：(Ⅰ)证明：连结
，则//
， …………1分
∵
是正方形，∴
．∵
面，∴
．
又
，∴
面
． ………………4分
∵
面，∴
，
∴
． …………………………………………5分
（Ⅱ）证明：作
的中点F，连结
．
∵
是
的中点，∴
，
∴四边形
是平行四边形，∴ 
． ………7分
∵
是的中点，∴
，
又
，∴
．
∴四边形
是平行四边形，
//
，
∵
，
，
∴平面
面． …………………………………9分
又
平面
，∴面． ………………10分
（3）
． ……………………………12分
。 ………15分
19，
解：（1）连OP，
为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有
又由已知
即：
化简得实数a、b间满足的等量关系为：
…………………………5分
（2）由，得b=－2a+3 。
故当
，即线段PQ长的最小值为
………………10分
（3）设⊙P的半径为R，
OP设⊙O有公共点，⊙O的半径为1，
而
故当
得半径取最小值⊙P的方程为
……………………16分
本题其它解法参照以上标准酌情给分
（文）解：（1）由条件知 
恒成立
又∵取x=2时，
与恒成立
∴ …………4分
（2）∵
∴
∴
……6分
又 恒成立，即
恒成立
∴
， …………10分
解出：
，∴
…………12分
（3）由分析条件知道，只要图象（在y轴右侧）总在直线 
上方即可，也就是直线的斜率
小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：
利用相切时△=0，解出 
∴
…………16分
解法2：
必须恒成立
即 
恒成立
①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得：
②
解出：
总之， ………16分
20，解（1）
的解集有且只有一个元素，
当a=4时，函数
上递减
故存在，使得不等式成立
当a=0时，函数
上递增
故不存在，使得不等式成立
综上，得a=4，
…………………………5分
（2）由（1）可知
当n=1时，
当
时，
…………………………11分
（3）由题设
，
递增，
即
时，有且只有1个变号数；
又
∴此处变号数有2个。
综上得数列的变号数为3。 ………………16分
高三数学第一学期第三次阶段测试
数学试题加试部分答案
1.
解：
2.
2. .解：（1）由
=
得
（2）由（1）知 
则矩阵A的特征多项式为
令
，得矩阵A的特征值为-1或3
当
时 二元一次方程
∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为
当
时，二元一次方程
∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为
3. (I) 
取值为0,10,20,50,60.
(II) 
元.
4 .解（I）证明：连结OC
在
中，由已知可得
而
即
平面
（II）解：设平面ACD的法向量为
则
令
得
是平面ACD的一个法向量。
又
点E到平面ACD的距离
